«Майже прості» проблеми, пов'язані з NP

Скажімо, що мова є близькою до P- щільності, якщо існує поліноміальний алгоритм часу, який правильно визначає майже на всіх входах. $L$ $L$

Іншими словами, є P , такий, що зникає, що означає Це також означає, що на рівномірному випадковому вході багаточастовий алгоритм для дасть правильну відповідь для з вірогідністю наближення до 1. Тому сенс розглядати майже просто. $A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

Зауважте, що $L\Delta A$ не повинна бути рідкою. Наприклад, якщо він має $2^{n/2}$ $n$ -бітових рядків, то він все ще зникає (з експоненціальною швидкістю), оскільки $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$ .

(Штучно) будувати (штучно) NP- неповні проблеми, близькі до P- щільності, згідно з вищезазначеним визначенням. Наприклад, нехай $L$ - будь-яка NP- незавершена мова, і визначимо $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ . Тоді $L^2$ зберігає NP- неповноту, але має максимум $2^{n/2}$ $n$ -екземпляри так-екземплярів. Тому тривіальний алгоритм, який відповідає "ні" на кожен вхід, правильно визначить $L^2$ майже на всіх входах; вона буде помилятися лише на $\leq 1-2^{-n/2}$ фракції $n$ бітових входів.

З іншого боку, було б дуже дивно, якби всі NP- неповні проблеми були P- щільністю. Це означало б, що в певному сенсі всі проблеми, які не стосуються НП, є майже простими. Це мотивує питання:

Припускаючи , що Р $\neq$ НП , які деякі природні NP -повна проблеми, які НЕ P щільність-близько?

— Андрас Фараго
джерело

Оскільки Heuristica не виключається, немає навіть не-обов'язково-природне завдання , для яких P ≠ NP , як відомо, означає , що ця проблема не є майже в Р.

Я вважаю, що проблеми після листування є гарною проблемою кандидата. Це важко навіть для рівномірно випадкових випадків, а отже, важко в середньому випадку.

— Мохаммед Аль-Туркстані

FYI: Ваш вибір номенклатури, хоча і природний, конфліктує з деякою існуючою номенклатурою: Клас « Мало-Р» складається з тих мов L, що має міру 1. Можливо, вам також буде цікаво знайте, що розрізнена версія вашого визначення вже використана та має зв'язки з кількома іншими ідеями, див. P-close . З огляду на дефініцію P-close, можливо, гарною назвою для вашої концепції є P-щільність-закриття, або P-close-досить :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Джошуа Грохов

З іншого боку, проблема рішення « Кольорова графіка », мабуть, є кандидатом у таку проблему.

$\;$

Я не переконаний, що це правильне визначення. Якщо щільність зникає, то це "майже легко" через будь-яку тривіальну мову , як би важко це не було насправді. І все-таки важко виставити природні жорсткі мови над алфавітом з щільністю, яка не зникає, просто через кодування. Якщо перетин повинен бути не з допустимими розмірами (тобто це проблема з обіцянками), а не з усіма рядками? В іншому випадку це головним чином потребує відповіді на питання: чи булеве кодування якоїсь NP-жорсткої мови з щільністю, яка не зникає?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— Андраш Саламон

Я вивчив, чи існує загальновизнана гіпотеза в теорії складності, з якої випливає, що повинна існувати NP- неповна мова, яка не може бути прийнята в поліноміальний час майже на всіх вхідних даних (як це визначено у запитанні).

Цікаво, що найбільш "стандартні" гіпотези, схоже, не передбачають цього. Тобто, схоже, це не випливає (якщо я щось не помітив) з P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH не руйнується тощо. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

З іншого боку, я знайшов одну, трохи менш стандартну гіпотезу, яка насправді передбачає існування шуканої NP- неповної проблеми, хоч і не природної. У теорії обмежених ресурсом мір основна гіпотеза полягає в тому, що NP не має міра нуля, позначена NP . Неофіційно це означає, що язики NP в межах E не утворюють мізерного підмножини. Детальніше дивіться в опитуванні тут . У цій теорії вони доказують, серед іншого, що NP передбачає існування P $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ -бі-імунна мова в НП . Мова є P -бі-Імунна якщо ні , ні його доповнення має нескінченна підмножина в P . Така мова сильно задовольняє нашу вимогу. $L$ $L$

Однак досі залишається незрозумілим, чи існує приклад, який представляє природну проблему.

— Андрас Фараго
джерело

Біоімунітет також набагато сильніший, ніж ваш стан, і пов'язаний з більш поширеним використанням "майже всіх" в теорії структурної складності, а саме "для всіх, але без кінцевих багатьох" ...

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Я згоден, але виявляється, що в певному сенсі P-bi-імунітет означає занадто сильну непридатність. Це, мабуть, не виникає серед природних проблем, повних NP. Мене дивно, що, мабуть, немає результату, який би забезпечив умови лише для існування "слабко майже скрізь" нерозв'язної NP-повної мови. Під «слабко майже скрізь» я маю на увазі, що умова «всі, але безмежно багато» замінено на «всі, але зникли безліч». Це може бути краще пов'язане з тим, що справді зустрічається на практиці.

— Андрас Фараго

Чи відомо, що NP є p-вимірюваним?

@ RickyDemer Наскільки я знаю, невідомо, чи NP вимірюється p.

— Андрас Фараго