Концепція: Усі мови, що завершуються FPT NP, є ізоморфними з фіксованим параметром

Гіпотеза Бермана – Хартманіса: всі мови, що не завершуються NP, схожі на один одного, в тому сенсі, що вони можуть бути пов’язані між собою поліноміальними ізоморфізмами часу [1].

Мене цікавить більш дрібнозерниста версія "поліноміального часу", тобто якщо ми будемо використовувати параметризовані скорочення.

Параметризована задача - це підмножина , де - кінцевий алфавіт, а - безліч негативних чисел. Отже, екземпляром параметризованої задачі є пара , де - параметр.$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

Параметризована задача є фіксованим параметром, параметризованої задачі якщо існують функції , : , і поліном такий що для будь-якого примірника (I, K) з π_1 , (Ф (I, K), г (к)) є екземпляром π_2 обчислюваних під час F (K) · р (| I |) і (I, K) ∈ π_1 тоді і тільки тоді, коли (Φ (I, k), g (k)) ∈ π_2 . Дві параметризовані задачі еквівалентні фіксованим параметрам, якщо вони є фіксованими параметрами, які можна звести один до одного.$π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$

Деякі проблеми, пов’язані з NP, є FPT, наприклад, версія рішення проблеми покриття вершин є NP-Complete, вона має алгоритм $O(1.2738^k + kn)$ [2]. Виявлення кращого скорочення фіксованих параметрів проблеми FPT, яка є NP-Complete, може призвести до кращого алгоритму, наприклад, виклик скорочення до "вищевикладної версії" проблеми Multiway Cut може призвести до алгоритму вчасно $O^*(4^k)$ для задачі AGVC (вище гарантійної вершини) [3], яка краща за вихідний алгоритм $O^*(15^k)$ [4].

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Це правда?

[1] Берман, Л.; Хартманіс, Дж. (1977), "Про ізоморфізми та щільність NP та інших повних множин", журнал SIAM on Computing 6 (2): 305–322.

[2] Дж. Чен, І. А. Кандж та Г. Ся, покращені верхні межі для вершинного покриву, Теор.Компут. Sci., 411 (2010), стор 3736-3756.

[3] М. Циган, М. Пилипчук, М. Пилипчук, Й.О. Войтащик, про багаторізковий зріз, параметризований вище нижньої межі, в IPEC, 2011 р.

[4] М. Махаджан і В. Раман, Параметризація вище гарантованих значень: Макссат і Макс, Дж. Алгоритми, 31 (1999), стор 335-354.

Серж Гасперс уже згадував, чому ваша думка - справді правдива.
Однак насправді можна отримати ізоморфізми з фіксованим параметром поліноміального часу ,
які я тепер усвідомлюю, що не менш тривіальні, оскільки це стосується кожної
упорядкованої пари нетривіальних завдань FPT зі скороченням у звичайному розумінні.

Нехай - ціле число, яке перевищує ступінь алгоритму FPT для , і і - так, а не екземпляр відповідно . Далі буде зменшення поліноміального часу з фіксованим параметром від до :$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

Спробуйте алгоритм FPT на для до кроків. Якщо це дає відповідь, виведіть або як зазначено в цій відповіді. В іншому випадку виведіть результат, застосувавши звичайне скорочення поліноміального часу з на . Правильність і поліномічне виконання очевидні. Оскільки більший за ступінь алгоритму FPT для , то у випадку фіксованого існує лише кінцево багато вхідних довжин для яких максимальний час роботи алгоритму FPT не менше$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ . Таким чином, для кожного фіксованого вищезазначене зменшення має лише кінцево багато виходів. Тому він відповідає умові вашого фіксованого параметра.$\:$$k$$\:$