Кількість мінусів графіка без використання алгоритму Каргера

Ми знаємо, що алгоритм мінімуму Каргера може бути використаний для доказування (неконструктивним способом), що максимальна кількість можливих мінусів графа може мати select $n \choose 2$ .

Мені було цікаво, чи зможемо ми якось довести цю тотожність, надавши бієктивний (досить ін’єктивний) доказ з набору мінцюків до іншого набору кардинальності n \ select 2$n \choose 2$ . Ніяких конкретних причин, це просто цікавість. Я спробував це зробити самостійно, але поки що не мав успіху. Я б не хотів, щоб хтось витрачав час на це, тому, якщо питання здасться безглуздим, я б просив модераторів вжити заходів відповідно.

Найкраще -Акаш

$\binom{n}{2}$ пов'язаний я думаю спочатку був доведений Дініц, Карзанов і Ломоносова в 1976 р в «структурі А для системи всіх мінімальних розрізів графа». Можливо, ви можете знайти те, що шукаєте в цій статті, але я не впевнений, чи є він в Інтернеті.

Неофіційно можна стверджувати, що для того, щоб мати максимальну кількість мін-скорочень, усі вузли в графі повинні мати однаковий ступінь.

Нехай розріз розділить графік на два набори вузлів і таким чином, що . Нехай кількість міні-скорочень у графі позначається як .C ˉ C C ∩ ˉ C = ∅ m c ( G $G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

Розглянемо зв'язаний графік з вершин, у яких кожна вершина має другий ступінь. Це повинен бути графік циклу, а мінімальний зріз - два ребра. Очевидно, що різання будь-яких двох ребер призведе до розрізу і що такий зріз є мінімальним зрізом. Оскільки є різних пар ребер, є мінімальних надрізів.n ( n - 1 ) / 2 n ( n - 1 ) /$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

Створіть новий графік, видаливши край графіка циклу. Мінімальний зріз нового графіка - це один край, і різання будь-якого краю буде достатньо: є таких розрізів, які можна зробити.$n-1$

Створіть новий графік, додавши край до циклу. Зараз два вузли мають ступінь третього, а вузли мають ступінь другий. Ступінь три вузла повинні обидва належать до або обидва належать . Слід зазначити , що в разі графа циклу, ніяких вузлів не були обмежені з'являтися разом в або . Слід мати на увазі, що додавання краю додає обмеження, що зменшує кількість мінімальних скорочень.C ˉ C C ˉ $n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

Підвищення більшої кількості вузлів до третього ступеня додає додаткових обмежень аж до моменту, коли існує лише один мінімальний розріз другого ступеня.

Викладене вище показує, що графік циклу є (принаймні) локальним максимумом .$mc$

Розглянемо набір графіків, у яких кожен вузол є ступенем три. Видалення ребра дає графік з одинарним мінімальним відрізком двох. Якщо додати край, як зазначено вище, утворюються два вузли, які найбільше з’являються на одній стороні зрізу.

Це говорить про те, що графіки, у яких кожен вузол має ступінь є локальними максимумами . Зазначаючи, що в повному графіку є скорочень розміру , це говорить про те, що це функція, що спадає.m c m c = n n - $k$$mc$$mc=n$$n-1$

Я не надто замислювався над тим, чи можна формалізувати вищезазначене, але це представляє можливий підхід.

Крім того, я вважаю, що в коментарі до своєї відповіді згадується папір Біксбі, що Джелані Нельсон має назву "Мінімальна кількість країв і вершин у графіку з крайовими зв'язками n та M n-зв'язками" ( посилання )