Теорема PCP - Крок зменшення алфавіту

Далі може здатися дурним (і це, мабуть, відображає моє слабке розуміння - тому будь ласка, майте мене)

У мене був запит про теорему PCP. Ми знаємо, що після перших трьох кроків а саме. Ступінь зменшення, розширення та посилення розривів , ми маємо обмежувальний графік з поліпшеним проміжком та величезним розміром алфавіту (як ). Саме ця проблема вирішує крок зменшення алфавіту.$G$$\Sigma^{d^t}$

Моє запитання полягає в тому, що, як викладено в лекціях Венката Гурусвамі Вступ до складу , мені здається, що ідея високого рівня полягає у вираженні обмеження через край як булеве обмеження над булевими змінними. Це само по собі нічого не досягає, і нам також потрібно застосувати зниження PCP, , на цьому краю. Це "схоже на" рекурсивне виклик PCP, і саме тут я починаю трохи хвилюватися. Здається, що це рекурсивне виклик знову підірве розмір алфавіту.$c_e$$e$$P_e$

Автори запропонували певне пояснення, зауваживши, що ця рекурсія має "базовий випадок", а саме - "внутрішнє" зменшення PCP стосується лише обмежень постійної величини.

(Під цим я розумію, що внутрішня рекурсія викликається лише тоді, коли ми дивимося на обмеження через один край, який є бінарним обмеженням, але все ще я ще не страх, що якось ми все-таки можемо підірвати розмір алфавіту замість цього його скорочення). Мені все ще здається, що рекурсивне повторення кроку посилення прогалини тільки погіршить ситуацію, підірвавши розмір алфавіту, якщо ми не включимо заходи щодо обробки базового випадку трохи інакше.$c_e$

Я сподіваюся, що мій запит (настільки ж нерозумний), мабуть, зрозумілий. Будь ласка, дайте мені знати, яку істотну частину я пропускаю (або неправильно зрозумів).

Ви запитуєте про доказ Дінура теореми PCP. На етапі скорочення алфавіту використовується PCP, але PCP має дуже різні параметри від того, який ви створюєте, і вам не обов’язково використовувати рекурсію для його побудови. Зокрема, на підтвердження Дінура, оскільки ця внутрішня PCP для зменшення алфавіту застосовується на введення постійного розміру, нам не байдуже, чи має він величезний (скажімо, експоненціальний або навіть більше, ніж цей) вибух, що дозволяє порівняно легко надати пряма побудова досить хорошої PCP.

Весь доказ, включаючи цей етап, описаний у кількох місцях (див. Відповідь на це питання ), і тому ви можете знайти інший опис, який вам більше подобається. Зокрема, у моєму підручнику зі складності із Саньєєвим Аророю, про який йде мова в главах 11 та 22, ми пропонуємо два альтернативних способи досягти кроку скорочення алфавіту. Один із них використовує PCP на основі Хадамара в основному тексті. Але, можливо, найпростіший власний його варіант - це конструкція, розроблена у вправі 22.5. Також у розділі 22.2.1 є таблиця, яка точно показує, який саме крок доказує до розміру алфавіту (та інших параметрів, таких як помилка звучності, розмір та кількість запитів), і це може зменшити вашу стурбованість.