Суперечність між теоремою другої некомплектності Геделя та власністю Церкви-Розсера CIC?

З одного боку, друга теорема про незавершеність Геделя зазначає, що будь-яка послідовна формальна теорія, яка є достатньо сильною для вираження будь-яких основних арифметичних тверджень, не може довести її власну послідовність. З іншого боку, властивість Церкви-Розсера формальної (переписуючої) системи говорить про те, що вона є послідовною, в тому сенсі, що не всі рівняння є похідними, наприклад, K $\neq$ Я , оскільки вони не мають такої ж нормальної форми.

Тоді Обчислення індуктивних конструкцій (CIC) чітко визначає обидві умови. Він достатньо сильний для представлення арифметичних пропозицій (справді, $\lambda\beta\eta$ -калькуляція вже здатна кодувати церковні цифри і представляти всі примітивні рекурсивні функції). Більше того, CIC також має власність злиття або Церква-Розсер. Але:

Чи не може CIC бути нездатним довести свою послідовність за допомогою другої теореми про незавершеність?

Або це просто стверджує, що CIC не може довести власну послідовність всередині системи, і якось властивість злиття є мета-теоремою? А може властивість злиття CIC не гарантує його послідовності?

Я дуже вдячний, якби хтось міг пролити світло на ці питання!

Дякую!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— Студентський тип
джерело

У якому сенсі CR означає послідовність? Розглянемо відношення

x \to y

$x \rightarrow y$ коли завгодно

x, y \in X

$x, y \in X$ .

— Мартін Бергер

@MartinBerger Отже, ви говорите, що CR не передбачає послідовності в CIC? Тому що це робить у

λ

$\lambda$ -розрахунок, наприклад, K

\neq

$\neq$ Я . І вибачте, я не розумію, що ви вказуєте на розгляді вищезазначених відносин.

— StudentType

Я нічого не знаю про CIC, але очевидною можливістю було б те, щоб він не довів свою власність Церква-Розсер.

— Еміль Єржабек

Сильна нормалізація була б ближче до узгодженості для теорії типів ні? CR означає, що існують неоднакові терміни, але це не виключає мешканця порожнечі. Сильна нормалізація не є внутрішньою мірою для циків, тому теорема Годельса все ще дотримується

— Даніель Гратцер

Інтуїція полягає в тому, що, як правило, легко показати, що всередині системи немає поганого нормального об'єкта. Тепер, якщо ми можемо довести, що всі терміни мають нормальну форму, ми закінчили. Алгоритм нормалізації легко формалізувати. Важка частина - показати, що вона припиняється. Якщо у нас є функції, які досить швидко ростуть всередині системи, то ми можемо використовувати їх для доведення верхньої межі припинення алгоритму нормалізації. Я думаю, що у старої книги Жирара повинні бути такі. Докази та типи також можуть. (Будь-яка хороша книга теорії доказів, яка обговорює ймовірні загальні функції теорії, повинна мати її.)

— Kaveh

По-перше, ви плутаєте послідовність CIC як теорії рівнянь з послідовністю CIC як логічної теорії . Перший означає, що не всі терміни CIC (одного типу) є $\beta\eta$ -еквівалент. Другий означає, що тип $\bot$ не заселений. CR передбачає перший вид послідовності, а не другий. Це, як було зазначено в коментарях, мається на увазі замість (слабкої) нормалізації. Прототипним прикладом цієї ситуації є чистий $\lambda$ -розрахунок: він є еквівалентно послідовним (CR дотримується), але, якщо ви розглядаєте його як логічну систему (як це спочатку замислювала Церква Алонцо), вона непослідовна (дійсно, вона не нормалізується).

По-друге, як зазначав Еміль, навіть якщо CIC має задану властивість (CR або нормалізація), цілком можливо, що CIC сам не може довести цю властивість. У цьому випадку я не бачу жодної непослідовності у тому, що CIC здатний довести власну властивість CR, і я здогадуюсь, що це дійсно так (елементарних комбінаторних аргументів зазвичай вистачає для CR, і такі аргументи неодмінно потрапляють у величезний логічна сила CIC). Однак CIC, безумовно, не доводить власного властивості нормалізації саме через другу теорему про незавершеність.

— Даміано Мацца
джерело

+1 Дякую! Не могли б ви трохи розробити, як це (слабке) властивість нормалізації передбачає послідовність (логічної теорії)? тобто, як це те, що кожен термін має нормальну форму, це означає це

⊥

$\bot$ мешкає?

— Студентський тип

Звичайно! По суті, той факт, що усунення різання передбачає послідовність. Більш докладно: оскільки нормалізація зберігає типи, слабка нормалізація передбачає, що якщо

⊥

$\bot$ мешкає, тоді він мешкає нормальним терміном. Але це, як правило, тривіальний наслідок визначення логічної системи (наприклад, CIC або будь-якого з обчислень

λ

$\lambda$ -куба), що немає нормального жителя с

⊥

$\bot$ .

— Даміано Мацца

@StudentType: це лемма відносно прямо (шляхом індукції над похідними), що термін індуктивного типу в нормальній формі в порожньому контексті повинен бути конструктором, застосованим до аргументів.

⊥

$\bot$ індуктивний тип без конструкторів. Подібні докази працюють із альтернативними визначеннями

⊥

$\bot$ .

— коді

Так, ти правий @cody! Я мав би сказати, що (у традиційних системах) цього немає закритого нормального жителя Росії

⊥

$\bot$ (Є багато нормальних жителів

⊥

$\bot$ які не закриті!).

— Даміано Мацца