Регулярний проти TC0

Відповідно до зоопарку складності , $\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{NC^1}$ і ми знаємо, що $\mathsf{Reg}$ не може рахувати так . Однак він не говорить, чи чи ні. Оскільки ми не знаємо ми також не знаємо . $\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{Reg}$ $\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}\not\subseteq\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$

Чи є кандидат в проблему в яка не в ? $\mathsf{Reg}$ $\mathsf{TC^0}$

Чи є умовний результат, що означає, що , наприклад, якщо то ? $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$

— Каве
джерело

Відповіді:

Візьміть як алфавіт, і Баррінгтон довів [2], що - -комплект скорочення (і навіть з більш обмежувальним зменшенням насправді). $S_5$

L = {σ_{1} \dots σ_{n} \in S_{5}^{*} ∣ σ_{1} \circ \dots \circ σ_{n} = Id}

$L= \{ \sigma_1\cdots \sigma_n \in S_5^*\mid \sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_n = \text{Id}\}$

L

$L$

{NC}^{1}

$\textrm{NC}^1$

{AC}^{0}

$\textrm{AC}^0$

Зокрема, це показує, що звичайні мови відсутні в якщо . Використовуючи теорію напівгруп (детальніше див. Книгу Штраубінга [1]), ми отримуємо, що якщо суворо в то всі звичайні мови або -повне або . $\textrm{TC}^0$ $\textrm{TC}^0 \subsetneq \textrm{NC}^1$ $\textrm{ACC}^0$ $\textrm{NC}^1$ $\textrm{NC}^1$ $\textrm{ACC}^0$

[1] Штраубінг, Говард (1994). "Кінцеві автомати, формальна логіка та складність ланцюга". Прогрес у теоретичних інформатиках. Базель: Бірхейзер. p. 8. ISBN 3-7643-3719-2.

[2] Баррінгтон, Девід А. Мікс (1989). "Програми розгалуження поліномій обмеженої ширини розпізнають саме ці мови в NC1"

— CP
джерело

Крім того, якщо ACC

не є "строго в NC

то всі звичайні мови" в ACC

все одно.

^{0}

$^0$

^{1}

$^1$

^{0}

$^0$

$\;\;\;\;$

Регулярні мови з нерозв'язними синтаксичними моноїдами є -повними (завдяки Баррінгтону; це основна причина, за якою частіше цитується результат, що дорівнює рівномірній програмі розгалуження шириною-5). Таким чином, будь-яка така мова не є в якщо тільки . $\mathrm{NC}^1$ $\mathrm{NC}^1$ $\mathrm{TC}^0$ $\mathrm{TC}^0=\mathrm{NC}^1$

Мій улюблений -повний регулярний вираз - це (це фактично кодування , як у відповіді CP). $\mathrm{NC}^1$ $((a|b)^3(ab^∗a|b))^∗$ $S_5$

— Еміль Єржабек 3.0
джерело

що таке синтаксичний моноїд?

— Т ....

Попередження про заплутану термінологію: у цьому контексті кажуть, що моноїд є нерозв’язним, якщо він містить нерозв'язну групу як підгрупу , а не обов'язково як підмоноїд.

— Emil Jeřábek 3.0

Мій улюблений регулярний вираз NC ^ 1 -

(це фактично кодування S_5, як у відповіді CP).

((a | b)^{3} (a b^{*} a | b))^{*}

$((a|b)^3(ab^*a|b))^*$

— Emil Jeřábek 3.0

Інший приклад, менш стислий, але простіший для розуміння:

a "a" виступає як цикл (1 2 3 4 5), the " b "виконують роль перестановки (1 2), і ці два групові елементи, як відомо, генерують

((a + b) (a b^{*} a b^{*} a b^{*} a + b))^{*}

$((a+b)(ab^*ab^*ab^*a+b))^*$

S - 5

$S-5$

— CP

@MichaelCadilhac: діє як

, і

, як

. Вони генерують

оскільки

є транспозицією.

a

$a$

(1, 2, 3, 4, 5)

$(1,2,3,4,5)$

b

$b$

(1, 2, 3, 4)

$(1,2,3,4)$

S_{5}

$S_5$

b a^{- 1}

$ba^{-1}$

— Emil Jeřábek 3.0