Поділ на дві функції в #P

Нехай ціле число функція така , що в . випливає, що знаходиться у ? Чи є причини вважати, що це навряд чи завжди буде таким? Будь-які посилання, про які я повинен знати? $F$ $2F$ $\#P$ $F$ $\#P$

Дещо дивно, що ця ситуація виникла (зі значно більшою константою) для функції для якої - стара відкрита проблема. $F$ $F \in? \#P$

Примітка: Мені відомі статті M. Ogiwara, L. Hemachandra, Теорія складності можливих властивостей закриття, де вивчена відповідна проблема поділу на 2 (див. Thm 3.13). Однак їхня проблема інша, оскільки вони визначають поділ усіх функцій через оператора підлоги. Це дозволило їм зробити кілька швидких скорочень до паритетних проблем.

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Ігор Пак
джерело

@Kaveh: Якщо

- функція

, а

полі-часова функція, то

є в

, але

не обов'язково (імовірно ). Наприклад, здається , немає ніяких причин , чому все невід'ємні функції ОПП повинні бути в

, але вони зводяться до

таким чином.

f (x)

$f(x)$

# P

$\#P$

g (y)

$g(y)$

f (g (y))

$f(g(y))$

# P

$\#P$

g (f (x))

$g(f(x))$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

@JoshuaGrochow: Так, це "Прийняти, якщо і тільки якщо ви вгадали обох свідків 2F у лексикографічному порядку".

@JoshuaGrochow Якщо ви ділите з функцією NO floor, тоді

згортається до наступного класу складності, який я щойно визначив, через теорему 5.9 у книзі TCTC.

існує поліноміальний предикат Р і многочленом д така , що для всіх

P P

${\bf PP}$

U P P X = {L |

${\bf UPPX} = \{ L |$

x

$x$

1.

$\bf 1.$

x \notin L \Rightarrow | | {y |

$x \not \in L \Rightarrow ||\{y|$

Тоді потрібно показати, кудиналежить

в ієрархії складності. Будемо сподіватися, що

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | < 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| < 1$

2.

$\bf 2.$

x \in L \Rightarrow | | {y |

$x \in L \Rightarrow ||\{y|$

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | \geq 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| \geq 1$

}

$\}$

U P P X

${\bf UPPX}$

U P P X = P P

${\bf UPPX} = {\bf PP}$

— Tayfun Pay

Наскільки важко сказати, чи функція в #PP завжди парна? Я думаю, що це не можна визначити.

— Петро Шор

@PeterShor: Це, безумовно, неможливо. Можна взяти машину, яка приймає і тоді, і лише тоді, коли свідок, що рахує, дорівнює 1 і такої ж довжини, що і вхід, і M зупиняється на точно [таку довжину] кроків.

Я намагаюся дати інтуїцію, чому я вважаю, що це навряд чи вдасться. Візьміть улюблену задачу в і перетворіть її в задачу в , наприклад, нашою функцією може бути кількість гамільтонових циклів у вхідному 3-регулярному графіку, що містить певний фіксований край. З аргументу парності ми знаємо , що завжди парне, так що ви можете визначити , і я не бачу причин , чому буде в . $PPA$ $\sharp P$ $f$ $f$ $F:=f/2$ $F$ $\sharp P$

— домоторп
джерело

Добре. Тепер я розгублений. Хіба

має трьох гамільтонових циклів?

K_{4}

$K_4$

— Пітер Шор

Гаразд ... я перевірив. Теорема полягає в тому, що кожне ребро з'являється в парній кількості (непрямих) гамільтонових циклів у 3-регулярному графіку, а не про те, що є парне число гамільтонових циклів. Отже, правильна проблема підрахунку така: заданий три правильний графік і ребро

, нехай

- кількість гамільтонових циклів у

які проходять через

. Чи

в # P?

e

$e$

f

$f$

G

$G$

e

$e$

F / 2

$F/2$

— Пітер Шор

Справді, смішно, що його ніхто раніше не помічав ... Я це додав.

— domotorp

Хоча загалом я згоден з вашою інтуїцією, в цьому випадку я думаю, що

може бути насправді в # P: Нехай e = (v_1, v_2) є краєм у G. Нехай u, w будуть сусідами v_1, які не є ' t v_2. Наступна машина NP має f / 2 приймаючих шляхи: відгадайте цикл Гамільтона, що включає пару ребер (u, v_1) та (v_1, v_2). (Справа в тому, що доказ рівномірного паритету створює біекцію між такими циклами Ham. Та тими, які включають (w, v_1) та (v_1, v_2). Отже, щоб інтуїція працювала, вам потрібно щось в PPA, яке проходить, наприклад, аргумент підрахунку, або це дозволяє уникнути легкого біекція ...

f / 2

$f/2$

— Джошуа Грохов

Факт неправда. Наприклад, легко перевірити, що вона не відповідає всім підключеним 3-регулярним графікам на 8 вершинах (див. En.wikipedia.org/wiki/Table_of_simple_cubic_graphs#8_nodes для списку), за винятком куба (який є перехідним по краю) .

— Еміль Йерабек підтримує Моніку