Чи є результат в теорії обчислюваності, яка не релятивізується?

Я читав статтю Андрія Бауера Перші кроки в теорії синтетичної обчислюваності . У висновку він зазначає, що

Наша аксіоматизація має свою межу: вона не може довести жодних результатів в теорії обчислюваності, які не зможуть відновитись до обчислень Oracle. Це тому, що теорію можна інтерпретувати у варіанті ефективного топосу, побудованого з часткових рекурсивних функцій з доступом до оракула.

Це змусило мене замислитися над нерелятивізуючими результатами в обчислюваності. Усі результати, які я знаю з теорії обчислюваності, відносяться до обчислення оракулами.

Чи є результати теорії обчислюваності , які не релятивізуються? Тобто результати, які стосуються обчислюваності, але не відповідають обчислюваності щодо якогось оракула?

В результаті я маю на увазі відому теорему обчислювальної теорії, а не якесь підготовлене твердження. Якщо поняття релятивізації не має сенсу для результату, то це не те, що я шукаю.

Цікаво також знати, чи можна результат викласти мовою синтетичної теорії обчислюваності чи ні.

computability relativization

— Анонімний
джерело

Всім відомо про нерелятивізуючі результати в теорії складності на зразок IP = PSPACE. Я запитую про нерелятивізуючу теорію обчислень , а не про результати теорії складності .

— Анонім

@Erfan: Ваші коментарі не стосуються питання. Моє запитання стосується теорії обчислюваності, ви говорите про теорію складності. Я шукаю нерелективізуючі результати, теорема про ієрархію часу релятивізується. Якщо у вас є питання щодо теореми часової ієрархії та релятивізації, ви можете поставити окреме запитання.

— Анонім

Відповідні речі: гіпотеза про однорідність, сформульована Х. Роджерсом, спростована в Річард А. Шор; Гіпотеза однорідності (1979): існує ступінь Тюрінга така, що не є ізоморфною (структура ступенів Тюрінга з частковою замовлення ). Дивіться подібне запитання на lo.logic

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi

Хороше запитання :-)

— Андрій Бауер

@Marzio: Цікаво. " Отже, це означає, що є пропозиція першого порядку на мові, що містить лише що відповідає дійсності градусів Тюрінга, але це помилково, якщо речення до градусів Тьюрінга для деякого (і звичайно, , робота в градусах Тюрінга еквівалентна наданню всім машинам Тьюрінга доступ до як оракул). Отже, доказ того, що є правдою, не можна відновити до . $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "Але насправді не є результатом теорія обчислюваності, вона підготовлена для мета-теореми.

φ

$\varphi$

— Анонімний

Відповіді:

Теорема вбудовування Хігмана: Кінцево генеровані обчислювально представлені групи є саме кінцево сформованими підгрупами кінцево представлених груп. Крім того, кожна обчислено представлена група (навіть ті, що рахуються згенерованими) є підгрупою кінцево представленої групи.

Зауважте, що це твердження могло б відновитись до: " обчислено представлені групи (з деяким оракулом ) - це саме кінцево сформовані підгрупи кінцево представлених груп", але це не так, оскільки можна довести, що для деяких незрівнянних існують - обчислено представлені групи, які не обчислено. $O$ $O$ $O$ $O$

На самом деле, я думаю , що будь-який НЕ-Релятивизация результат теорії обчислюваності повинен мати що - то цей аромат, так як деякі частини результату або його доказ повинні який - то чином «прибити» справжню вичіслімость з обчислюваності з оракулом . У цьому випадку саме кінцевість знижує "фактичну обчислюваність". Зауважте, що, як просив Скотт Ааронсон, цей результат є інваріантним до будь-якої з звичайних моделей обчислень (машина Тьюрінга, оперативна пам'ять тощо), але не релятивізується (знову ж таки, тому що всі звичні моделі "фактичних" обчислень мають деякі загальна "властивість скінченності"). $O$

З іншого боку, можна стверджувати, що це "не враховується" для цього питання, оскільки воно більше схоже на визначення обчислюваності з використанням груп, ніж це "результат теорії обчисленості". З іншого боку, саме визначення обчислюваності є надійним для моделювання, але не релятивізується . (На противагу, скажімо, характеристиці Клейна обчислюваних функцій, які легко релативізуються, просто додаючи характерну функцію вашого оракула до генеруючого набору функцій. Здається, аналогічних операцій для груп у контексті введення Хігмана.)

— Джошуа Грохов
джерело

Чи визначає ваш приклад скінченність (проти нескінченності) чи підрахунок (проти незліченності)?

— Андраш Саламон

Вибачте моє незнання, але чи теорема Хігмена рівномірна? Тобто, з урахуванням обчислювально представленої групи, чи можемо ми рівномірно обчислити скінченно сформовану групу, яка містить її?

— Андрій Бауер

На жаль, замініть "скінченно генерований" на "остаточно представлений" у моєму запитанні. Це була банальна помилка. Мене цікавить, чи можемо ми замінити «остаточно представлене» чимось дещо більш загальним.

— Андрій Бауер

@AndrewMorgan: Я згоден з початком вашого аргументу, але не згоден з вашим висновком. Часто досить корисно, що

-комплектним. Я не думаю, що релятивізація Кука-Левіна зовсім неприродна ... Мені дуже подобається пропозиція Андрія, і ми подумаємо над цим ...

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

— Джошуа Грохов

@AndrewMorgan: Погоджено. Я би подумав, що рід вузлів був би хорошим кандидатом :).

— Джошуа Грохов

Про це я теж часто замислювався!

Якщо під "результатами теорії обчислюваності" ви маєте на увазі результати, інваріантні щодо вибору моделі машини (машини Тюрінга, машини ОЗУ тощо), то я не знаю жодного прикладу такого результату, і я Однозначно згадав би, якби бачив його.

Найближче, що я можу запропонувати відповісти: я думаю, що в теорії обчислюваності є багато цікавих питань, які можуть залежати від моделі машини. Наприклад: чи нескінченно часто буває функція «Зайнятий Бівер» зі своїм звичайним визначенням у відношенні машин Тьюрінга нескінченною? Чи не залежить значення BB (20) від ZFC? Якими б не були відповіді на ці запитання, вони, безумовно, можуть бути різними для релятивізованих аналогів функції ВВ.

— Скотт Ааронсон
джерело

Ось більш-менш тривіальний приклад: Розглянемо проблему зупинки для машин Тьюрінга, яким спеціально заборонено (за визначенням обчислювальної моделі) доступу до оракула. Це не можна визначити відносно як жодного оракула, так і тривіального оракула, і все ж воно рішуче відносно оракула для проблеми зупинки. (Сама проблема не змінюється відносно оракула, оскільки він не може отримати доступ до оракула, але (необмежений) ТМ, який вирішує проблему, стає більш сильним з огляду на оракул.)

Є й багато інших прикладів. Просто трохи пограйте з обчислювальною моделлю, і ви можете знайти інші подібні результати.

— Філіп Уайт
джерело

Просто цікаво: що конкретно не відповідає цій відповіді? Можливо, потоки не вірять, що можна заборонити машині Тьюрінга звертатися до оракула і вимагати подальшого пояснення цього?

— Філіп Уайт

Це здається не дуже справедливим визначенням релятивізації, щоб дозволити машині мати oracle, але потім не дати їй можливості використовувати oracle.

— Девід Еппштейн

Цікаво, хоча і не те, що я шукаю. Я шукаю відомий результат теорії обчислюваності, який не релятивізує, а не аргумент, як підготувати такий результат.

— Анонім

Розглянемо наступне твердження: H (проблема зупинки машин Тьюрінга без оракул) не піддається обчисленню. З іншого боку, H обчислюється відносно проблеми зупинки оракул. Навіть якщо ми розглядаємо це як спосіб релятивізації твердження, він не є цікавим. Ймовірно, існує подібний спосіб релятивізації будь-якого твердження, яке робить його помилковим. Релятивізація - це не просто приєднання оракула десь. Релятивізація цікава, коли вона зберігає цікавий клас аргументів, тому, якщо твердження не релятивізується, ми знаємо, що клас аргументів не може довести твердження.

— Каве

Візьмемо, наприклад, метод релятивізації в BGS. Це цікаво тим, що він зберігає прості аргументи діагоналізації, тому вони не можуть вирішити P проти NP. Якщо релятивізація не зберігає таких аргументів, то, мабуть, це не цікавий спосіб релятивізації тверджень. Хороша релятивізація повинна підтримувати якомога більше відомих аргументів та перевірених результатів, чим менше вона зберігає, тим менш цікавою стає.

— Каве