Складність гомоморфізму диграфа до орієнтованого циклу

При фіксованому орієнтований граф (орграф) , то Проблема Рішення -розмальовка запитує , може вхідний Орграф має гомоморфізм до . (Гомоморфізм від до - це відображення від до яке зберігає дуги, тобто якщо - дуга , то - дуга )$D$$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

Клас задач -COLORING сильно пов'язаний з Конструкцією дихотомії для CSP, заявленою Федером та Варді (доступною на сайті citeseer ).$D$

У цьому документі 2001 року (доступний на сторінці автора тут ) Федер доводить теорему про дихотомію, коли - орієнтований цикл (під орієнтованим циклом я маю на увазі непрямий цикл, де кожне ребро замінюється однією дугою, яку можна орієнтувати довільно) інакше кажучи, він показує, що для будь-якого орієнтованого циклу , -КОРОЛЮВАННЯ є вирішеним поліномом-часом або NP-повним.$D$$D$$D$

На жаль, класифікація Федера є дуже нетривіальною та не явною, оскільки складність багатьох випадків пов'язана зі складністю певних обмежених варіантів САТ, які залежать від орієнтації. Дивлячись на папір, я не зміг визначити відповідь на своє запитання:

Запитання: Який найменший розмір орієнтованого циклу такий, що -ЦВОРЕННЯ НП-повна?$D$$D$

Відповідь могла бути сказана десь у літературі, але я не зміг її знайти.

Редагувати:Дозвольте докладніше розповісти про класифікацію Федера. Федер показує, що будь-який цикл, орієнтований на NP, повинен бути збалансованим, тобто мати однакову кількість дуг в обох напрямках (отже, він має рівний порядок). Потім розгляньте "рівні", індуковані орієнтацією (почніть обходити цикл у довільній вершині; якщо дуга йде вправо, ви піднімаєтеся на 1, якщо дуга йде вліво, ви спускаєтесь на 1). Тоді, якщо є щонайбільше один "пробіг вгорі-вниз", це многочлен. Якщо є щонайменше 3 таких "пробігу" і цикл є ядром, він є NP-завершеним. (У прикладі Андраша з коментарів три такі "пробіжки", але цикл не є ядром.) Найбільш складні випадки - це випадки з двома "прогонами зверху вниз". Деякі важкі, деякі багаточлени, і Федер пов'язує їх із спеціальними проблемами SAT, щоб отримати дихотомію.

Як проміжне запитання: Який найменший орієнтований цикл, який має три запуски «зверху вниз» і є ядром? Такий приклад був би завершеним NP вищезазначеною дискусією.

Що стосується проміжного запитання (ядро з трьома прогонами зверху-вниз), як щодо цього?

Деякі позначення: я буду описувати прогони словами в , наприклад, відповідний підграфу . Рівень збільшується на дугах і зменшується на дуг, і я вважаю, що його мінімум дорівнює . Деякі прямі обмеження:$\{l,r\}^*$$llrl$$\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$$r$$l$$0$

• Не може бути запуску, що складається лише з s або лише з s, тому що в іншому випадку існує очевидний гомоморфізм від до цього прогону (відображення кожного вузла до того самого рівня). Це також означає, що максимальний рівень повинен бути не менше$l$$r$$D$$D$$3$.
• Якби максимальний рівень був $3$, тоді всі запуски зверху-внизу (респ. знизу-вгорі) мали б форму $llr(lr)^ill$ (респ. $rrl(rl)^irr)$; знову ж таки, не дуже важко знайти гомоморфізм$D$ на пробіг, який мінімізує $i$.

Однак для максимального рівня $4$ є рішення, довжини $36$: врахувати $D$ дається $(rrrlrrlllrll)^3$. Він має необхідні запуски зверху-вниз і є основним (див. Нижче). За вищезазначеними обмеженнями, це обов'язково мінімально, оскільки кожен пробіг має лише один край "назад".

Щоб переконати себе, що це ядро, давайте спочатку назвемо вершини ($v_1,\ldots,v_{36}$). Дно (тобто рівень$0$) вершини є $v_1,v_{13},v_{25}$. Будь-який гомоморфізм$\varphi$ з $D$ до підграфа повинні зберігати рівні, зокрема $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; модульно очевидний автоматизм$v_i\mapsto v_{i+12}$, досить розглянути справу $\varphi(v_1)=v_1$. Розглянемо околиці с$v_1$ в $D$ (зазначається рівнями):

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

Починаючи з $\varphi(v_1)=v_1$, ми маємо $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$. Але якщо$\varphi(v_2)=v_{36}$, тоді $\varphi(v_3)=v_{35}$, і ми не маємо можливого значення для $\varphi(v_4)$. Ми отримуємо$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$. Далі$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$, Крім $\varphi(v_5)=v_3$ ми отримуємо $\varphi(v_6)=v_4$, без можливого значення для $\varphi(v_7)$. Тому$\varphi$ повинна бути особистістю на весь пробіг $v_1\to\ldots\to v_7$, і повторюючи той самий аргумент для решти прогонів, те саме стосується всіх $D$. Зокрема,$\varphi$ не відображає $D$ на належний підграф.