Нижні межі для Фреге і розширені Фреге

У Вікіпедії [1] зазначено, що найвідоміша нижня межа розмірів доказів Фреге є квадратичною, а також немає відомих надлінійних нижніх меж для кількості ліній доказів Фреге.

Запитання:

1) Яка найвідоміша нижня межа для кількості ліній розширених доказів Фреге?

2) Яка найвідоміша нижня межа для розміру розширених доказів Фреге? Це все ще квадратично, як у Фреге?

3) Деревоподібний розширений Frege може імітувати DAG-подібний Extended Frege у поліноміальному числі кроків. Чи є якісь суперлінійні нижні межі для розміру / кількості ліній на деревоподібному розширеному Frege?

4) Які тавтології призводять до лінійної нижньої межі для кількості прямих і до квадратичної нижньої межі для розміру в доказах Фреге, як зазначено у вікіпедії?

Obs: Я знаю той факт, що для постійної глибини Frege у нас є розміри нижчих меж порядку $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$. Але мене справді цікавлять повноцінні Frege та Extended Frege.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

1, 2, 4) Найвідоміші нижні межі на розширеному Фреге такі ж, як і для Фреге: лінійна кількість ліній та квадратичний розмір. Це стосується, наприклад, тавтологій$\neg^{2n}\top$(в основному, будь-яка тавтологія, яка не є заміщенням екземпляра коротшої тавтології, і сума довжин усіх підформул є квадратичною). Це доводиться в обмеженій арифметиці, пропозиційній логіці та теорії складності для систем Frege Крайчека , але аргумент працює і для розширених систем Frege.

3) Мені не зовсім зрозуміло, як саме ви визначаєте деревоподібну розширену Frege (має бути механізм, що дозволяє повторно використовувати аксіоми розширення), але мені невідомі будь-які суперлінійні нижні межі щодо кількості ліній у деревоподібному Frege або розширені системи Frege.