Очікуваний мінімальний вплив випадкової булевої функції

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

Враховуючи параметр $p\in[0,1]$ , ми вибираємо $p$ випадкову функцію $f$ , вибираючи її значення на кожному з $2^n$ входів, навмання незалежно, дорівнює $1$ з ймовірністю $p$ , і $-1$ з ймовірністю $1-p$ . Тоді легко помітити, що для кожного $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$ і atiotio

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

Моє запитання:

Чи існує асимптотично (щодо $n$ ) тугий вираз для $I_n(p)$ ? Навіть для $p=\frac{1}{2}$ ми можемо отримати такий вираз?

Зокрема, я дбаю про умови низького порядку, тобто мене зацікавить асимптотичний еквівалент кількості $2p(1-p)-I_n(p)$ .

(Наступне питання, але яке підпорядковане першому, - чи можна також досягти хороших меж концентрації навколо цього очікування.)

За межами Черноффа можна також показати, що кожне має хорошу концентрацію, так що ми, пов'язані з об'єднанням, отримуємо (якщо я не надто сильно зіпсував) але це швидше за все, вільний на нижній межі (через зв’язок з'єднання) і, безумовно, на верхній межі. (Я, зокрема, шукаю верхню межу суворо менше тривіального ). $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Зауважимо, що одне з питань, окрім прийняття мінімуму однаково розподілених випадкових змінних (впливів), - це те, що ці випадкові змінні не є незалежними ... хоча я очікую, що їх кореляція розпадеться "досить швидко" з . $n$ $n$

(Для чого це варто, я явно обчислював кілька перших до , і запустив симуляції, щоб оцінити наступні, до чи більше. Не впевнений, наскільки це корисно могло б бути, але я можу це включити, як тільки повернусь до свого офісу.) $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— Климент С.
джерело

Ось перші кілька (точні лише перші 4, інші - із випадкової вибірки (для оцінки впливу) в середньому на 10 ^ 5 випадково генерованих функцій): (зверніть увагу: для моделювання, не впевнений, що 4-й розряд справді значне)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— Климент К.

Ось крок у правильному напрямку ...

Я стверджую, що для вас є . $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(Це не так сильно, як це має бути. Можливо, хтось може посилити аргумент, щоб показати .) Ось ескіз доказу. $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Досить показати . Ми це робимо. $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

Зауважимо, що якщо і були повністю незалежними, ми зробили б це, оскільки очікування мінімуму двох незалежних сум . По-перше, ми будемо ретельно стверджувати, що дві суми майже незалежні. $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

Розглянемо Всесвіт точок . Викликайте і у сусідів, якщо вони різняться лише в й координаті. Скажіть, що два сусіди роблять внесок (у ), якщо . (Так це число внесок -neighbors, поділене на .) Слід зазначити , що, якщо і є -neighbors, а і є -сусіди, то будь-який $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ або . Отже, кількість сусідів, що сприяють, - це сума незалежних випадкових величин, кожна з очікуванням . $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

Розділіть Всесвіт на групи розміром чотири, де і знаходяться в одній групі iff і домовляються про всі, крім їх перших двох координат. Тоді для кожної пари 1-сусідів, і кожна пара 2-сусідів, і знаходяться в одній групі. Для даної групи та , нехай rv - кількість сприяючих сусідів у . Тоді, наприклад, загальна кількість 1-сусідів, що сприяють $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ , сума незалежних випадкових величин, кожна з . $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

Зауважте, що і незалежні, якщо . Аналіз випадку, якщо , спільний розподіл і дорівнює $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

Нехай rv позначає множину нейтральних груп. (Вони вносять саме їх очікувану суму в 1-вплив та 2-вплив.) Тоді кількість -сусідів, що сприяють, становить $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

Умовно , для кожного rv і є незалежними (шляхом перевірки їх спільного розподілу вгорі), тому (обумовлені ) всі rv є рівномірно більше так, $N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

Нарешті, зауважте, що кожна група нейтральна з вірогідністю 1/2, тому надзвичайно мало, скажімо, (і навіть у цьому випадку ліва частина зверху становить щонайменше ) . З цього випливає заявлена нижня межа ... $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— Ніл Янг
джерело

Дякую! Я спробую переконатися, чи є спосіб адаптувати свій підхід, щоб отримати додатковий під корінь ...

n

$n$

— Климент С.