Чому ми розглядаємо логічний простір як модель ефективного обчислення (замість полілогічного простору)?

Це може бути скоріше суб'єктивне питання, а не конкретне, але все одно.

У теорії складності ми вивчаємо поняття ефективних обчислень. Є такі класи, як - значення для полінома , а - простір журналу . Обидва вони вважаються представленими як своєрідна "ефективність", і вони досить добре сприймають труднощі деяких проблем.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

Але є різниця між і : тоді як час полінома, , визначається як об'єднання проблем, яке працює в час для будь-якої постійної , це,L P O ( n k ) $\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$ ,

простір журналу визначається як . Якщо ми імітуємо визначення , воно стаєS P A C E [ log n ] $\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$ ,

де називається класом полілогічного простору . Моє запитання:$\mathsf{PolyL}$

Чому ми використовуємо простір журналів як поняття ефективного обчислення замість полілогічного простору?

Одне головне питання може стосуватися повного набору проблем. У просторі журналів багато-один скорочення, і і мають цілі проблеми. На відміну від цього, якщо має такі проблеми при таких скороченнях, то ми б суперечили теоремі про космічну ієрархію. Але що робити, якщо ми перейшли до скорочень полілогів? Чи можемо ми уникнути таких проблем? Загалом, якщо ми намагаємось вписати у поняття ефективності та (за потреби) змінити деякі визначення, щоб отримати всі добрі властивості, які повинен мати клас "nice", то як далеко ми можемо пройти?$\mathsf{P}$P o l y L P o l y $\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

Чи є якісь теоретичні та / або практичні причини використання простору журналу замість полілогічного простору?

Найменший клас, що містить лінійний час і закритий під підпрограмами, - P. Найменший клас, що містить журнальний простір і закритий під підпрограми, все ще є простором журналу. Таким чином, P і L - це найменші надійні класи для часу та простору, тому вони вважають себе правильним для моделювання ефективних обчислень.

Одне питання полягає в тому, що невідомо, чи . Це в значній мірі вбиває поняття ефективності. Інша примітка визначає, чи перетин мов, розпізнаних автоматами не порожнім, є -комплект у скороченні простору журналу [Ланге-Россманіт] . Можливо, є деякі подібні проблеми для детермінованого полілогу-простору.$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

Клас вивчався в минулому. [Кук] довів, що . Як зауважив Деррік Столі, цей клас зараз відомий як і був узагальнений до . Більше інформації тут .$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

Журнальний простір гарантує поліноміальний час, оскільки існує щонайменше заданої машини журналу Тьюрінга. Повні проблеми Ненаправленого Досягнення та Направленого Досягнення (для L та NL відповідно) дуже «приємно» думати.$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

Зауважте, що ваше визначення PolyL також дає PolyL = NPolyL за теоремою Савича, оскільки .$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

Що стосується полілогічного простору, було зроблено роботу з розгляду полілогічного простору з одночасним поліномним часом, надаючи ієрархію SC: . $\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

Я думаю, що всі інші відповіді дуже хороші; Я спробую дати іншу точку зору на це питання.

Я не знаю, наскільки Р-моделі "ефективні" обчислення в реальному світі, але нам подобається клас через його приємні властивості закриття та інші математичні причини. Аналогічно, L також є хорошим класом через деякі з вищезгаданих причин.

Однак, як ви прокоментували, якщо ми послабимо наше визначення "ефективний" до квазіполіномного часу, то PolyL також є ефективним. Ми могли б обговорити теорію складності, коли ми дозволяємо класам, визначеним логарифмічним обмеженим на якомусь ресурсі, замість цього використовувати полілогічні ресурси. Відповідно, ми також розслабимо наші визначення NC, NL тощо, щоб дозволити замість цього квазіполіномічні схеми розміру. Якщо ми це зробимо, NC ₁ , L, NL і NC всі збігаються з класом PolyL. У цьому сенсі PolyL є надійним класом, оскільки багато природних класів збігаються з ним. Для отримання додаткової інформації про теорію складності з log -> полілог та поліном -> квазіполіном, див. Класичні схеми розмірів квазіполіномій Баррінгтона.

Ще однією причиною вивчення polyL або подібних класів, таких як quasi-AC _0, є те, що хоча розділення оракул між (скажімо) ParityP і PH означає, що PARITY не міститься в AC ₀ , зворотне значення невідомо, що це правда. З іншого боку, PARITY не міститься в quasi-AC ₀ тоді і лише тоді, коли між ParityP та PH існує розділення оракул. Аналогічно, класи quasi-TC ₀ і quasi-AC ₀ різні, якщо і тільки тоді, коли між CH і PH існує розрив оракул. Тож звичайні класи складності, такі як PH, ModPH, CH та ін., Коли їх зменшують експоненціалом для доказування результатів оракула, перетворюються на квазіполіномічні версії звичайних класів AC ₀ , ACC ₀ і TC₀ відповідно. Аналогічно, аргумент, використаний у теоремі Тоди (PH міститься у P ^PP ), може бути використаний для показу, що квазі-AC ₀ міститься в квазі-TC ₀ глибиною 3 . (Я не знаю, чи відомий той самий висновок для звичайних версій цих класів. Я вбачав, що це є відкритою проблемою в деяких роботах.)