Чи може випадковий оракул змінити, які проблеми з TFNP в середньому сильно важкі?

Я роздумував над цим питанням у
різні часи, відколи бачив це питання на криптографії .

Питання

Дозволяє $R$ бути відношенням TFNP . Чи може випадковий оракул допомогти P / poly
зламатись $R$ з незначною ймовірністю? Більш формально, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

Чи

для всіх P / полі алгоритмів , є незначним $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

обов'язково маю на увазі це

для майже всіх Ø racles , для всіх P / полі-оракула алгоритмів , можна знехтувати $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

Альтернативна рецептура

Відповідним набором оракул є (таким чином вимірюється), тому, приймаючи протиположні та застосовуючи закон нуля один Колмогорова , наступна формулювання еквівалентна початковій. $G_{\delta\sigma}$

Чи

для майже все про racles , існує Р / полі оракул-алгоритм таким чином, що НЕ незначна $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

обов'язково маю на увазі це

існує алгоритм P / poly такий, що не є незначним $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

Єдиний випадок

Ось доказ єдиної версії :

Є тільки лічильно-багато PPT оракул-алгоритми, так що по лічильної адитивності нуль [ідеальної] [8], існує РРТ алгоритм таким чином, що для не- нульового безлічі оракулів , є незначним. Нехай - такий оракул-алгоритм. $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

Аналогічно, нехай є цілим додатним числом, що для ненульового набору оракул , є нескінченно-часто принаймні , де - довжина вводу. До контрапозиции з борелевская-Кантеллі , нескінченно. $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

За допомогою тесту порівняння нескінченно часто . $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

Нехай - алгоритм PPT, який [імітує оракул] [12] і працює з цим симулятором-oracle. $S$ $B$

Виправте і нехай буде набір оракул таким, що . $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

Якщо не є нульовим, то . $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

Оскільки нескінченно часто, не є незначним. $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

Тому єдина версія . Доказ критично використовує той факт, що існує
лише багато оракул-алгоритмів PPT . Ця ідея не спрацьовує в
неоднорідному випадку, оскільки існують безліч P / poly-оракул-алгоритмів.

— Громада
джерело

Я не думаю, що це насправді питання про оракули. Оскільки не залежить від , ви також можете просто надати довільній рядку. Постає питання: чи збільшує випадковість потужність багатомірних схем. Відповідь на це - «ні», оскільки якби дійсно отримав доступ до випадкової рядки, то, шляхом усереднення аргументу, існувала б конкретна установка випадкової рядки, з якою міг би зробити добре, і тоді ми могли б так само просто дротових цей рядок в ланцюга «и.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Адам Сміт

@AdamSmith: «Так не залежить від , ви можете також просто дати доступ до випадкової рядку» є інтуїція, але я не бачу якоїсь - або спосіб перетворити його на доказ.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@ Адам, є ще один кількісний показник, який важливий. Я думаю, що легше подивитися на заперечення: чи можливо, що майже для кожного оракулу існує неоднорідний противник, який може використовувати оракул для вирішення проблеми пошуку?

— Каве

Розумію. Я відповідав на інше запитання. Вибачте за непорозуміння.

— Адам Сміт

@domotorp: їх слід виправити зараз. (Моє припущення для чому це сталося є використанні нумерованих посилань , а не в лінію зв'язку.)

$\hspace{1.05 in}$

Ні моєму заголовку, а так - тілу мого питання. Це насправді узагальнюється відразу
до кожної гри довжиною в поліном, яка не використовує код супротивників.

Зауважте, що я буду використовувати для супротивників, а не , щоб відповідати позначенням теореми 2 . $C$ $A$

Припустимо, що для майже всіх оракул існує P / poly oracle-алгоритм таким, що - незначна. $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

Для майже всіх оракул існує додатне ціле число d таке, що існує послідовність схем розміром не більше d + n ^d, така що нескінченно-часто більше . $\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

За рахунок лічильної аддитивності існує додатне ціле число d, таке, що для ненульового набору оракул існує послідовність схем розміром не більше d + n ^d, така що нескінченно-часто перевищує . $\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

Нехай j - така реклама, і z - не (обов'язково ефективний) оракул-алгоритм, який
приймає n як вхід і виводить лексикографічно найменшу схему оракул розміром не більше j + n що максимізує ім'я . За контраспозитивом Бореля-Кантеллі , $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ за нескінченно багато росіян.

Для таких n,

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

.

Нехай - оракул-алгоритм, який приймає 2 входи, один з яких , і робить наступне: $A$ $n$

Виберіть випадковий n-бітний рядок . Спробуйте [проаналізувати інший вхід як ланцюг oracle і запустити цю ланцюг oracle у n-бітній рядку]. Якщо це успішно , і оракул замикання в вихідних задовольняє умові Р (х, у), то вихід 1, в іншому випадку вихід 0. (Зверніть увагу , що це НЕ тільки противник.) Для нескінченного числа п, . Нехай p буде таким, як у теоремі 2 , і задай $x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$
$\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ .

За теоремою 2 існує функція oracle така, що з як у цій теоремі, якщотоді $\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ .

Для n таких, що: $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

Зокрема, існує ланцюг оракул розміром не більше j + n та призначення довжини не більше f таким, що з цим входом і presampling, ймовірності «s виводити більше , ніж . Оракул-ланцюги розміром не більше j + n можуть бути представлені полі (n) бітами, тому для p обмежений поліномом в n, що означає, що f також обмежено вище шляхом многочлена в n. $\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

Побудова , це означає, що існують оракул-схеми розміром не більше j + n і призначення полінома довжини таким чином, що при запуску з цим преамбулированием вірогідність схем знайти рішення більше, ніж . Оскільки такі схеми не можуть робити запити довше j + n $A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ біти, введені в попередній вибір входи довші, ніж це можна ігнорувати, тому таке преамбулювання може бути ефективно-і-ідеально змодельовано випадковим оракул та полі (n) жорстко кодованими бітами. Це означає, що існує оракул схем поліноміального розміру, що при стандартному випадковому оракулі ймовірність пошуку схем виявити більше . Такий випадковий оракул у свою чергу може бути змодельований ефективно та ідеально за допомогою звичайних випадкових бітів, тому існують імовірнісні не- оракул схеми поліноміального розміру, чия ймовірність знайти рішення більша, ніж $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ . У свою чергу, за допомогою жорсткого кодування оптичної випадковості існують детерміновані схеми (без оракул) поліноміального розміру, ймовірність яких (за вибір x) знайти рішення перевищує . Як показано раніше у цій відповіді, існує нескінченно багато n таких, що, $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ $\;\;\;$ тому є поліном такий, що

послідовність, чий n-й запис є лексикографічно найменшим
[ланцюг C розміру, обмеженого вище цим поліномом], який максимізує $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

- алгоритм P / poly, вірогідність якого (над вибором x) знайти рішення є незначною.

Тому наслідки в моєму питанні завжди мають місце.

Щоб отримати таке саме значення для інших ігор довжиною в поліном, просто
змініть цей доказ щоб він мав вхідні оракул-схеми грати в гру. $A$