"По-різному забарвлення гіперграфа"

18

Мене цікавить наступна проблема: Враховуючи набір X і підмножини X_1, ..., X_n з X, знайдіть забарвлення елементів X з k кольорами таким чином, що елементи в кожному X_i всі мають різний колір. Більш конкретно, я розглядаю випадок, коли всі X_i мають розмір k. Чи відомо це в літературі під якоюсь назвою? Я шукаю характеристики кольорових екземплярів та результати складності (P проти NP-hard). Наприклад, для k = 2 кольорові екземпляри відповідають двостороннім графам, і, отже, проблема може бути вирішена за багаточлен.

— Фолк Хюффнер
джерело

Якщо гіперграф має обмежений ступінь D, максимум # кольорів, які можна використовувати, є Theta (D / log k): див. Arxiv.org/abs/1009.5893 або arxiv.org/abs/1009.6144

— daveagp

Якщо вас цікавить підручник з цими видами розмальовок, подивіться на amazon.com/Introduction-Hypergraph-Theory-Vitaly-Voloshin/dp/… Якщо вам цікаво дізнатися більше про застосування фарбування гіперграфами, ознайомтеся paper research.microsoft.com/en-us/um/people/moscitho/Publications/…

14

Я вважаю, що це відомо в літературі як проблема пошуку сильного k-забарвлення для k-рівномірного гіперграфа. Це має бути хорошим місцем для початку: [PDF] .

— Джеймс Кінг
джерело

10

Це також максимум настільки ж важко, як -кольорування графіка , де утворюється шляхом перетворення кожного в кліку. Ваше обмеження, що всі мають розмір означає, що ви можете покрити кожен край клікою на вершинах. $k$ $G=(X,E)$ $E$ $X_i$ $X_i$ $k$ $G$ $k$

— Серж Гасперс
джерело

1

Справді. Це виглядає як трансформація Covering By Cliques у Гарі / Джонсона. NP-повна для фіксованого

, але має поліноміальний алгоритм часу для

(як згадує Falk).

k \geq 3

$k \ge 3$

k \leq 2

$k \le 2$

— Даніель Апон

2

Побудова

запропонованої тут, є саме графіком Гейфмана.

G

$G$

— Андрас Саламон

Це вірно.

- це справді граф Гайфмана.

G

$G$

— Серж Гасперс

8

$k$ $G = (V,E)$ $e = \{u,v\}$ $X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ $x(e,j)$ $k$ $G$

— Юкка Суомела
джерело

8

Фарбування, в якому кожен гіпермасаж - поліхроматичний (або веселка ), також відомий як сильне забарвлення .

Зауважимо, що сильне забарвлення гіперграфа - це саме належне забарвлення графіка Гейфмана гіперграфа. ( Граф Гейфмана (або первинний графік або 2-розріз ) гіперграфа формується шляхом додавання ребер між будь-якими двома вершинами, які з'являються разом у якомусь гіперпередачі.)

$k$ $r$ $H$ $k$ $H$ $r=2$ $k=2$ $k\ge 3$ $r <2$ $k\lt r$

$C$ $D$

— Андраш Саламон
джерело

Що б ви порекомендували як посилання на NP-жорсткість проблеми? Вищеописана книга?

— domotorp

@domotorp ні, книга зосереджена на слабкому забарвленні. Дивіться відповідь Юкка.

— Андраш Саламон

"По-різному забарвлення гіперграфа" - відома проблема?