Який "найменший" клас складності, для якого відомий зв'язаний надлінійний ланцюг?

Вибачення за запитання, яке, безумовно, повинно міститись у багатьох стандартних посиланнях. Мені цікаво саме питання в заголовку, зокрема я думаю про булеві схеми, не обмежені глибиною. Я вкладаю "найменший" у лапки, щоб передбачити можливість існування декількох різних класів, невідомо, що вони включають один одного, для яких відомий суперлінійний зв'язок.

Я вважаю, що найменші відомі такі класи - (Cai, 2001), (Vinodchandran, 2005) та (Santhanam, 2007). Все це, як відомо, не знаходиться в для кожної постійної .P P ( M A ∩ c o M A ) / 1 S I Z E ( n k ) $S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

Найсильніший результат, який мені відомо, - це те, що для всіх k існує проблема $S_2^P$ яка вимагає схем розміром $\Omega(n^k)$ .

- клас, що міститься в Z P P N P , який сам міститься в Σ P 2 ∩ Π P 2 . (Узоопарку складностіє додаткова інформація про цей клас.)$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

Результат випливає із найсильнішої версії теореми Карпа-Ліптона, зумовленої Каєм .

Швидкий доказ того, як це випливає з теореми KL: По-перше, якщо SAT вимагає схем надполіномальних розмірів, ми це зробили, оскільки ми виявили проблему в яка потребує схем суперполіномальних розмірів. Якщо у SAT є схеми розмірів поліномів, то за найсильнішою версією теореми Карпа-Ліптона, PH руйнується до S P 2 . Ми знаємо, що PH містить такі проблеми (за результатами Каннана), і тому S P 2 містить таку проблему.$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Для загальних схем ми знаємо, що в є проблеми, які вимагають ланцюгів розміром Ω ( n k ) , це пов'язано з Раві Каннаном (1981), і виходячи з його результату, що P H містить такі проблеми .$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

Я думаю, що найкращі нижчі межі для все ще знаходяться біля 5 n .$NP$$5n$

Дивіться книгу Арори та Барака, стор. 297. Річард Дж. Ліптон мав допис у своєму блозі про ці результати, також дивіться цей .

$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

Одна проблема рішення, яку не можна обчислити за допомогою схем io- - це найменше число (запитується за допомогою його двійкових цифр), що не є таблицею істинності схеми з ворота. Якщо NP знаходиться в P / poly, проблема має незаперечний очевидний свідок, що складається з наступного: (1) (2) ланцюг, який задав , показує, що має досить малу ланцюг. (3) (використовується лише для пов'язаного з верифікатора, який дозволяє нам запускати ланцюг супротивника протягом (2) лише разів (отримуючи 1 біт за пробіг ).N n k ⌊ ( log n ) c + 1 ⌋ N N ′ < N N ′ ˜ O ( n k 3 ) O ( 1 $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

На окремій примітці для кожного є проблеми рішення в (MA ∩ coMA) / 1, які не мають схем. '/ 1' означає, що машина отримує одну пораду, яка залежить лише від розміру вводу. Крім того , рядок Мерлін посилає може бути обраний , щоб залежати тільки від розміру вхідного сигналу (з цим обмеженням, МА є підмножиною ), а також складність консультації . Доказ (Santhanam 2007) узагальнює IP = PSPACE та PSPACE⊂P / poly ⇒ PSPACE = MA, використовуючи певну добре сприйняту проблему, повну PSPACE та додаючи входи, щоб отримати мінімальні розміри ланцюга, які нескінченно часто між і , використовуючи поради для виявлення достатньої кількості прикладів такогоO ( n k ) O 2 $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$ n k + 1 n k + 2 n$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$, і для цих вирішення заміщеної задачі змусило Мерліна виробляти таку схему.$n$