Про реалізацію моноїдів як синтаксичних моноїдів мов

Нехай є якоюсь мовою, тоді ми визначаємо синтаксичну збіжність як і фактор моноїд називається синтаксичної моноїд з . $L \subseteq X^{\ast}$

u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y \in X^{*} : x u y \in L \leftrightarrow x v y \in L

$u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y\in X^{\ast} : xuy \in L \leftrightarrow xvy \in L$

X^{*} / \sim_{L}

$X^{\ast} / \sim_L$

L

$L$

Тепер які моноїди виникають як синтаксичні моноїди мов? Я знайшов мови для симетричних груп і для набору всіх відображень на деякому нижньому кінцевому наборі. А як щодо інших, чи є кінцеві моноїди, які не можна було б записати як синтаксичний моноїд якоїсь мови?

Для даного автомата, враховуючи моноїд, породжений відображеннями, індукованими літерами про стани (так званий моноїд перетворення), коли склад функції читається зліва направо, він вважає, що моноїд перетворення мінімального автомата є саме синтаксичний моноїд. Це спостереження допомогло мені побудувати вищезгадані приклади.

Дозвольте також не сказати, що досить просто усвідомити будь-який кінцевий моноїд як моноїд перетворення деякого автомата, просто прийміть елементи як стани, і розглянемо кожен генератор як букву алфавіту, і переходи задані від для деякого стану і буква , то перетворення моноїд ізоморфний самих (це аналогічно теорема Келей про те , як група вбудувати в симетричні групи). $M$ $M$ $M$ $qx$ $q$ $x$ $M$

— СтефанХ
джерело

Що означає термін "мова" в цьому контексті? Можливо, субмоноїд? Редагувати. Ну, мабуть, не так, оскільки це означало б, що завжди було відношенням рівності. Можливо, вони довільні підмножини?

\sim

$\sim$

— гоблін

@goblin Мова - це лише якийсь довільний підмножина (тобто набір кінцевих послідовностей або вільний моноїд); вони кодують слова.

X^{*}

$X^{\ast}$

— StefanH

Спасибі. Я почав стільки ж здогадуватися Чи є якийсь зв’язок між тим, що ви робите тут, і часткою групи де - нормальна підгрупа групи ? Так чи інакше, це здається дуже крутим.

G / N

$G/N$

N

$N$

G

$G$

— гоблін

@goblin Якщо ви шукаєте аналогію і до і , то я не бачу ніякого прямого відношення лише до абстрактної форми факторних структур (і, отже, викликає канонічні морфізми); але є й інші способи, щоб групи могли ввести сюди картину, наприклад, синтаксичний моноїд може бути групою, або також може бути групою (що, як правило, узагальнює поняття автоматичних груп, але я тут не експерт). Я б запропонував вам відкрити нову публікацію, якщо вас цікавить, як тут можуть вийти на сцену групи!

X^{*}

$X^{\ast}$

\sim

$\sim$

G

$G$

N

$N$

L

$L$

— StefanH

@goblin Можливо, ще одна аналогія, яка певним чином може бути відома груповому теоретику: Враховуючи мову ми можемо сформувати автомат (не необхідний кінцевий!), щоб прийняти (наприклад, з правими класами нероду). Тепер , якщо позначає стану, тобто дія , який задає відображення . Тепер ядро цієї дії як відношення конгруентності уточнює зверху як тоді (але лише може надіслати їх у різні кінцеві стани, отже, воно може належним чином уточнити ).

L

$L$

L

$L$

Q

$Q$

Q \times X^{*} \to Q

$Q \times X^{\ast} \to Q$

X^{*} \to Q^{Q}

$X^{\ast} \to Q^Q$

\sim

$\sim$

q_{0} \cdot x u y = q_{0} \cdot x v y

$q_0\cdot xuy = q_0\cdot xvy$

u \sim v

$u\sim v$

\sim

$\sim$

— СтефанХ

Відповіді:

$\omega$

Назва : Які кінцеві моноїди є синтаксичними моноїдами раціональних омега-мов .

Автори : Фан Трунг Хуй, Ігор Литовський, До Лонг Ван

Анотація : Введено поняття ω-жорстких множин для кінцевого моноїда. Ми доводимо, що кінцевий моноїд M - синтаксичний моноїд Арнольда деякої раціональної ω-мови (ω-синтаксичний короткий), якщо і лише за наявності ω-жорсткої множини для М. Ця властивість виявляється рішучою для кінцевих моноїдів . Встановлено взаємозв'язок сімейства ω-синтаксичних моноїдів та ∗ -синтаксичних моноїдів (тобто синтаксичних моноїдів раціональних мов кінцевих слів).

Крім того, на сторінці вікіпедії про синтаксичні моноїди зазначено:

Кожен кінцевий моноїд гомоморфний синтаксичному моноїду якоїсь нетривіальної мови [1], але не кожен кінцевий моноїд є ізоморфним синтаксичному моноїду. [2]
Кожна кінцева група ізоморфна синтаксичному моноїду якоїсь нетривіальної мови. [1]

[1] Мак-Нофтон, Роберт; Паперт, Сеймур (1971). Безконтактні автомати. Монографія дослідження 65. З додатком Вільяма Геннемана. MIT Press. p. 48. ISBN 0-262-13076-9. Zbl 0232.94024.

[2] Лоусон (2004), с.233

— Денис
джерело

Що означає "гомоморфний"? Тобто, в якому напрямку йде гомоморфізм, і чи потрібно він бути сюрєктивним?

— Emil Jeřábek

Це означає, що будь-який кінцевий моноїд є субмоноїдом синтаксичного моноїда. Це підтверджено в kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1437-2.pdf

— Денис

Лише зауваження: публікації RIMS на засіданнях груп автоматів зазвичай не рецензуються. Тому будьте обережні щодо вмісту, якщо ви не можете їх перевірити самостійно.

— Пітер Лепольд

Більш елементарним способом, ніж відповідь Дениса, наступне витягується з «Теорій обчислюваності» Піппенгера, стор.87, і негайно перевірити.

$M$ $Y \subseteq M$ $\equiv_Y$ $M$ $x \equiv_Y y$ $\big[\forall w, z \in M$ $wxz \in Y \Leftrightarrow wyz \in Y\big]$

$M$ $Y \subseteq M$ $x \equiv_Y y \Rightarrow x = y$ $x, y \in M$ $M \approx M/\equiv_Y$

$M$

— Міхаель Каділхак
джерело

$P$ $M$ $P$ $M$

$\{1, a, b, c\}$ $1$ $xy = y$ $x, y \in \{a,b,c\}$

— Ж.-Є. Шпилька
джерело