Яка складність відрізняти справжні спектри Фур'є від фальшивого?

Машині $PH$ надається доступ до оракула до випадкової булевої функції $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ та двох спектрів Фур'є $g$ і $h$ .

Спектри Фур'є функції $f$ визначаються як $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

Один з або є справжніми спектрами Фур'є а другий - лише підроблені спектри Фур'є, що належать до невідомої випадкової булевої функції.$g$$h$$f$

Не важко показати, що машина не може навіть наблизити до жодної .F ( s ) $PH$$F(s)$$s$

У чому полягає складність запиту щодо вирішення з високою ймовірністю успіху, який з них є істинним?

Мені це цікаво, оскільки якщо цієї проблеми немає в , то можна показати, що існує оракул, щодо якого не є підмножиною .B Q P P $PH$$BQP$$PH$

Вибачте, що я спізнююсь - це чудове питання! Як уже зазначали інші, саме тому я задав питання в моєму документі BQP vs. PH , і чому я провів 4 чи 5 місяців, працюючи над ним без успіху ще в 2008 році. Одним із способів відповісти на питання було б довести набагато більш загальне твердження, яке я назвав "Узагальненою лініально-Нісановою спорудою" ---, але, на жаль, ця гіпотеза виявилася помилковою , принаймні, для схем глибини 3 і вище. (Я все ще думаю, що це, мабуть, вірно для схем глибини-2, які принаймні принесуть поділ оракул між BQP та AM.) Для останніх ідей (останніх, наскільки я знаю) щодо розділення оракул між BQP і PH, дивіться приємний подальший документ від Fefferman, Shaltiel, Umans,

Скотт Ааронсон може бути найкращою людиною в світі, що відповість на це питання, можливо, він матиме кращу відповідь після того, як цей буде розміщений. він запропонував оригінальну проблему, про яку це розміщене питання видається дуже незначним варіантом, так звану проблему перевірки фур’є (більше запитів на це у коментарях). проблема тісно пов'язана / майже еквівалентна розділенню двох важливих класів складності PH та BQP, що є ключовою відкритою проблемою теорії складності QM, і, мабуть, дуже складно. не здається, що багато прямих / подальших досліджень з цього питання було зроблено поки що хтось, крім Ааронсона, а може навіть і не він (його, мабуть, лише трохи більше 2 років).

однак тут принаймні один документ, якийсь інший, ніж Аронсон, який фокусує / будує на здогадках / проблемі деякі нові результати.

Експоненціальні прискорення є загальними Fernando GSL Brandão та Michał Horodecki

У нашій роботі [4] ми узагальнюємо задачу перевірки Фур'є [1] та показуємо, що перетворення Фур'є, як у визначенні проблеми, так і в квантовому алгоритмі, що її вирішує, може бути замінено великим класом квантових схем. До них належать як перетворення Фур'є через будь-яку (можливо, неабелеву) кінцеву групу, так і майже будь-який досить довгий квантовий контур від природного розподілу на множині квантових схем. Ми отримуємо експоненціальні розділення квантових та післяобраних класичних складних запитів для всіх таких схем.