Згортається при припущенні, що

Відомо , що якщо той многочлен ієрархії коллапсирует Е Р 2 і M A = A M .$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

Які найсильніші колапси, як відомо, трапляються, якщо ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Я вважаю , що найсильнішим є те , що . Це довели Імпальяццо Кабанець та Вігдерсон.$NEXP = MA$

Дивіться https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=uk&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Мені б також цікаво дізнатися про будь-які сильніші крахи, ніж цей.

Редагувати (8/24): Гаразд, я подумав про якийсь потенційно сильніший крах, який по суті випливає з доказів вищезазначеного документу. Оскільки означає N E X P = E X P (див. Вищенаведене посилання), а E X P закритий під доповненням, у нас також N E X P закритий під доповненням і тому N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, який трохи сильніше. Дійсно, гіпотеза припускає , що для будь-якого мови, А одна рядок свідок ш п може бути використаний у відповідному протоколі MA для всіх YES-екземплярів який - або заданої довжини п , так і N E X P = O M A ∩ c o O M A (де O M A = "очевидний М.А.", див. Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$). Ці додаткові властивості, хоча і технічні, можуть виявитися корисними в аргументі нижньої межі ланцюга.

Редагувати 2: Схоже, Ендрю Морган це вже підкреслив. Уопс :)

Трапляється ціла маса веселих справ. Більшість із тих, кого я знаю, починаються з паперу IKW . Там показано крах $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ , і (я думаю) - це найсильніший буквальний колапс класів складності, про який ми знаємо. Є й інші види "крахів", хоча, на мою думку, слід вказати.

Найголовніше, я вважаю, є властивістю "універсального стислого свідка" (також з паперу IKW). Для одного він дає вам інструмент, з якого багато інших руйнувань є прямими наслідками; для іншого, останні нижні межі ланцюга (наприклад, тут і тут ) для $\textsf{NEXP}$ використовують це з'єднання. Якщо коротко, то властивість говорить , що для будь-якого $\textsf{NEXP}$ мови $L$ , і будь-якого $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ рішення $L$ , кожен $x \in L$ має стисло описується свідок у відповідності з $M$ . Формально існує поліном $p$ залежно від$M$ так, що для кожного$x \in L$ існує схема$C_x$ розміром$p(|x|)$ так що таблиця істинності$C_x$ є послідовністю недетермінованих варіантів вибору для$M$ що призводять до прийняття на вхід$x$ .

Лаконічність свідків стане в нагоді, тому що ви можете прямо відступити багато інших руйнувань від неї. Наприклад, тривіально випливає, що $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Наприклад, припустимо , що $L$ в $\textsf{NEXP}$ через $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ . Властивість короткого свідка говорить, що існує поліном $p$ так що $M$ має стислі свідки розміром $p$ . Тоді ми можемо визначити $L$ в $\textsf{EXP}$ шляхом введення $x$ , грубої форсировки всіх схем розміром не більше $p(|x|)$ , і перевірити, чи кодують вони послідовність варіантів, що призводять доприйому$M$ на вході$x$ . Ви можете поєднати це з результатом (раніше відомим за допомогою інтерактивних доказів), що$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ для висновку$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Варто підкреслити, що ми маємо вибрати $M$ і, отже, форму свідків. Наприклад, ви можете дійсно зробити висновок з " $\textsf{NEXP}$ має універсальних лаконічних свідків", що $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Тут $\textsf{OMA}$ є «забутим-MA», це означає, що існує чесний Мерлін, який залежить тільки від вхідної довжини. Неважко помітити, що $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ , тому в основному це просто надання нормальної форми для того, як обчислюються мови $\textsf{NEXP}$ в $\textsf{P}/\textrm{poly}$ припускаючи, що $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$на першому місці. Ось один із способів побачити крах до $\textsf{OMA}$ :

Для мови $L \in \mathsf{NEXP}$ вирішеної машиною $M$ , побудуйте машину $\mathsf{NEXP}$$M'$ так. Перегляньте $n$ бітний вхід як число $N$ між $1$ і $2^n$ . Для кожного $x$ довжини $n$ вгадайте свідок $w_x$ та запустіть $M(x,w_x)$ щоб перевірити його. $M'(N)$приймає, якщо і лише тоді, коли $M$ приймає принаймні $N$ значень $x$ . Ці припущення розташовані таким чином, що стислий опис свідка $M'$ являє собою схему $C$ , яка обчислює карту $(x,i) \mapsto$$i$ -й битий $w_x$ . Тепер припустимо, що $N$ - це саме кількість рядків у $L$ при довжині $n$ . Тоді ємні свідки $M'$ на вході $N$ є схеми , які одночасно кодують все з$M$ свідки «s для длина-$n$ входів. Зокрема, якщо$M'$ має лаконічні свідки, то всіхсвідків$M$ можна одночасно описати одним і тим же ланцюгом.

Для завершення претензії згадаємо, що $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$ . Нехай $M$ є машиною, яка відгадує PCP, а потім детерміновано моделює верифікатор, вищевказаний параграф повідомляє нам про існування одночасно коротко описаних PCP для кожної мови в $\textsf{NEXP}$ . Отже, щоб отримати $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$ , ми Мерлін надсилаємо короткий опис PCP для всіх входів поточної вхідної довжини, які Артур може перевірити, просто включивши його вхід і потім запустивши верифікатор PCP.

[Завдяки Коді Мюррей за вказівку трюк з використанням входу для підрахунку числа рядків в $L$ . Раніше я мав $M'$ використовувати це, якщо $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ то $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ щоб записати таблицю істинності $L$ , але стратегія Коді є більш елегантною.]

$\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$$\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$$\textsf{PSPACE}$$\textsf{PSPACE}$$\textsf{NEXP}$$\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$$\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$$\textsf{NEXP}$ $\textsf{NEXP}$$\textsf{EXP}$$\textsf{BPP}$$\textsf{EXP}$$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$