Коли BPP з упередженою монетою дорівнює стандартній BPP?

Нехай імовірнісний апарат Тьюрінга має доступ до несправедливої монети, яка піднімає голови з вірогідністю (оберти не залежать). Визначте як клас мов, розпізнаваний такою машиною за багаточлен. Це стандартна вправа довести, що: $p$ $BPP_p$

А) Якщо раціональний або навіть -вичіслімий тоді . (До -вичіслімий Я середній: є рандомізованих поліноміальний алгоритм , який, подається в одинарному повертається WHP довічного раціональних зі знаменником , яка лежить в межах з .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

Б) В протягом деякого невичіслімого клас містить нерозв'язний мову і , отже , більше , ніж . Такі значення утворюють щільну множину в . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Моє запитання таке: що відбувається між ними? Чи існує критерій ? Зокрема: $BPP_p=BPP$

1) Чи існують незаперечні в ймовірності такі, що ? (Вони можуть бути обчислені в деяких вищих класах). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) Чи ширше ніж для всіх непридатних ? (Параметри, про які йдеться, - це ті, бінарне розширення яких містить дуже довгі послідовності нулів та / або одиниць. У цьому випадку обчислення бітів шляхом випадкової вибірки може зайняти дуже довго, навіть непереборний час, і проблема не може бути перенесена на поліноміальний час. Іноді складність може бути подолана іншою базою розширення, але певний може обдурити всі основи). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Даніїл Мусатов
джерело

Що саме ви маєте на увазі під p (не) обчислюваним?

— daniello

Я додав визначення

обчислюваний. Для обчислювальних даних взагалі можна просто залишити слова "рандомізований многочлен" або просто сказати, що двійкове розширення обчислюється. (З обмеженими ресурсами це не те саме.)

B P P

$BPP$

— Даніїл Мусатов

Я думаю, що

для кожного нерозбірливого

тому що, даючи монети

-більше, можна обчислити

-й біт

шляхом вибірки. Припустимо, ми можемо обчислити

'-й біт за час

, тоді мова, яка містить

для всіх

така що

' біт

дорівнює

знаходиться в

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , але, очевидно, це незаперечно.

— Даніелло

Це, безумовно, справедливо для переважної більшості непереборних

. Але є застереження: якщо

містить дуже довгі послідовності нулів та одиниць, то для визначення

-го біту може знадобитися дуже довгий вибірки . Ця вибірка може бути настільки довгою, що

було б незаперечним (як функція Busy Beavers). Я також сумніваюся, що це можна точно обчислити з самого відбору проб. І здається, що без обчислення

не можна розпізнати згадану мову.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Даніїл Мусатов

1) Так, але тільки через ваше визначення. Візьміть мову (так, я знаю, що це може бути порожнім; у такому випадку просто візьміть щось навіть більше, ніж ), це дуже рідко в тому сенсі, що якщо не є вежею , тобто форми . Визначте . Цей не є $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ обчислюється, але можна наблизити в аж до досить невеликої помилки присадки, що дозволяє моделюватимашину . $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

Якщо б ви визначили -вичіслімий таким чином, що ви хочете приблизний з точністю до адитивної похибки (замість ) за поліноміальний час, все було б інакше. $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

Оновлення. Нижченаведена відповідь стосується випадку, коли помилка добавки, яку ми допускаємо, дорівнює замість . $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) Так, тому що тут можна забути про поліноміальне обмеження класів і шляхом вибірки разів можна отримати -й біт в . $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— домоторп
джерело

2) Я вважаю, що теорема про центральну межу говорить про те, що треба отримати вибірку

, а не

, щоб отримати

точність. Але головна проблема полягає в тому, що іноді нам потрібна набагато більша точність. Скажіть, якщо

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

тоді потрібно

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

вибірки для обчислення навіть першої цифри. А кількість необхідних зразків може бути довільно, навіть беззаперечно, великою. Справа трохи уточнена в редагуванні.

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

— Даніїл Мусатов

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$