Довідка для класу графіків, які зберігають відстані підграфів за замовленням

12

Скажемо, що граф має властивість якщо його вершини можна упорядкувати таким чином, що графік індукований вершинами має $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ для всіх . Іншими словами, додавання наступної вершини в нашому впорядкуванні не впливає на метрику відстані поточного графіка. $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

Прикладом такого графіка є регулярна сітка. $n \times n$

Чи має це властивість чи клас графіків назву? Чи їх вивчали?

reference-request graph-theory

— міч
джерело

Простим прикладом графа, який не має цієї властивості, є

-цикл для

. Це тому, що для будь-якого впорядкування підряди

повинні бути з'єднані, і тому в часі

,

є лінією довжини

, і тому деякі дві вершини є відстань

один від одного.

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Ендрю Морган

З іншого боку, природним кандидатом для пошуку хорошого порядку

є створення BFS з довільного вибору

. Переглядаючи

як дерево BFS з деякими додатковими ребрами, здається, що єдиною перешкодою для наявності властивості

є те, що у

є щось "на кшталт"

-цикла для

. Під "начебто" я маю на увазі є

-цикл

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

з

так що

в

. Якщо ми називаємо такий цикл «мінімальним», то чи правда, що властивість

еквівалентна відсутності мінімальних циклів довжиною щонайменше 5?

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— Ендрю Морган

1

k

$k$

8

Здається, ви запитуєте про графіки, які допускають впорядкування усунення, що зберігає відстань, що формує клас графіків, вивчених у цій роботі:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
джерело

2

Також вільно доступний на веб-сторінці автора: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Флорент Фуко,

8

У мене немає відповіді на весь ваш клас графіків, але три підкласи графіків, які мають цю властивість, - це спадкові графіки , графіки хордальних та медіанні .

$v_1$

Хордальні графіки - це графіки, які мають впорядкування з властивістю, що кожна послідовна вершина при додаванні має кліку для своїх сусідів. Це впорядкування, очевидно, зберігає відстань.

Аналогічно, медіанні графіків (включаючи приклад вашої сітки) мають властивість, що для будь-якого впорядкування першого по ширині кожна вершина має місце гіперкубного моменту на момент її додавання. (Див. Сторінки 76–77 Eppstein et al., «Теорія медіа», Спрингер, 2008). Знову ж таки, ця властивість означає, що додавання не може змінити відстані між попередніми вершинами.

Існує клас графіків, якому я не знаю назви, узагальнюючи хордальні та відсталі спадкові графіки, які можна розпізнати за полиномним часом і мають вашу властивість. Вони є сполученими графами, які можна скласти з однієї вершини шляхом додавання вершин по черзі, де сусіди кожної нової вершини є підмножиною одного із закритих кварталів попереднього графа. Вони майже (але не зовсім) такі самі, як графіки, що демонтуютьсяРізниця полягає в тому, що нова вершина не повинна прилягати до вершини, сусідство якої копіюється. Упорядкування елімінації хордального графіка - це конструкція такого типу, де кожна нова вершина вибирає підмножину клацання мікрорайону. Подібним чином спадкові графіки мають такий тип побудови, де сусідами кожної нової вершини є ціле закрите сусідство, відкрите сусідство або одна вершина. Кожна нова вершина не може змінювати відстані попередніх вершин, тому ця послідовність побудови має властивість, яку ви шукаєте.

Якщо ви визначите вершину v "знімною", якщо вона могла бути останньою у цій послідовності (вона має відкрите сусідство, що є підмножиною чужого закритого мікрорайону), то видалення інших знімних вершин не змінює видаленість v : якщо сусідство v є підмножиною u, і ми видаляємо u як сусідство, яке є підмножиною w, то v все ще видаляється, оскільки його сусідство все ще є підмножиною w. Отже, послідовності етапів видалення, які ми можемо дотримуватися, щоб повернути графік ні до чого, не утворюють антиматероїд, і одна така послідовність може бути знайдена в поліноміальний час жадібним алгоритмом, який неодноразово видаляє знімну вершину, коли вона може її знайти. Зворотний результат цього алгоритму дає послідовність побудови даного графіка. Графік куба наводить приклад графіка, який має вашу властивість (середній графік), але не може бути сконструйований таким чином. Я думаю, що медіанні графіків, які можна побудувати таким чином, є саме квадратними (до яких входять звичайні сітки). Графіки, що мають послідовність побудови цього типу, також включають усі графіки, які мають універсальну вершину, наприклад колісні графіки , тому (на відміну від хордальних графіків та графіків спадкової спадковості) вони не є ідеальними та не закриті під індукованими підграфами.

— Девід Еппштейн
джерело

властивість цього класу графіків, в якому ви не впевнені, нагадує порядок усунення домінування. Цей документ здається актуальним для початкового питання: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN

Я думаю, що замовлення щодо усунення домінатлону може бути таким самим, як і dlsmantlability. Але ви повинні зв’язати цей документ із фактичною відповіддю, оскільки його "наказ про усунення на відстані", здається, саме те, що задається оригінальним запитанням.

— Девід Еппштейн