Складність доступності в лінійних динамічних системах над кінцевими полями

Нехай - матриця над кінцевим полем і , - вектори простору . Мене цікавить обчислювальна складність вирішення, чи існує така, що , тобто в задачі про доступність для лінійних динамічних систем над кінцевими полями.$A$$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$$x$$y$$\mathbb{F}_2^n$$t \in \mathbb{N}$$A^t x = y$

Проблема чітко в (здогадка та обчислити у часі многочлена шляхом повторного квадратування). Я та мої колеги також змогли довести -недоповнення пов'язаної проблеми встановлення того, чи існує така, що , де - компонентна нерівність.$\mathbf{NP}$$0 \le t < 2^n$$A^t$$\mathbf{NP}$$t \in \mathbb{N}$$A^t x \ge y$$\ge$

Ця проблема здається цілком природною, але мені не вдалося знайти посилання на її обчислювальну складність у літературі, ймовірно, тому, що я не знаю точної термінології. Чи знаєте ви, чи проблема з рівністю -повна, чи вона насправді в ?$\mathbf{NP}$$\mathbf{P}$

Для наочності я збираюсь узагальнити ваше запитання над характеристикою (з базовим полем F q ) замість конкретного випадку p = q = 2 . Я візьму p і q як фіксовані константи; Я залишу це читачеві, щоб зрозуміти, яка точна залежність від цих параметрів, оскільки існують деякі компроміси, які можна зробити. Кінцевим результатом тут є те, що ваша задача приблизно еквівалентна задачі дискретного журналу для кінцевих полів характеристики p .$p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

Щоб бути більш конкретним, нехай звичайна дискретна проблема журналу над розширеннями , задана полем розширення F з F q , і a , b ∈ F , знайде будь-яке ціле число t, щоб a = b t , або повідомити про відсутність жодного . Нехай сильна дискретна задача журналу над розширеннями F q , задана F , a , b, як і раніше, знаходить цілі числа z , m, так що $\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$ для цілого числа t iffабо повідомити, що неіснує. Тоді існують такі скорочення:$a = b^t$$t$$t = z \pmod{m}$$t$

• Існує детерміноване скорочення відображення від дискретного журналу через розширення до вашої проблеми.$\mathbb{F}_q$

• Існує ефективний, детермінований алгоритм, який вирішує вашу проблему при доступі до оракула, обчислюючи сильну дискретну проблему журналу над розширеннями .$\mathbb{F}_q$

Відповідно, я вважаю малоймовірним, що хтось опублікує доказ -твердості або доказ того, що ваша проблема знаходиться в найближчим часом.$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Примітка: Сильна дискретна завдання журналу над розширеннями може бути Тьюринг зводиться до наступного нібито слабкій формі (хоча до сих пір , здавалося б , сильніше , ніж звичайні завдання дискретного журналу): Дан полем розширення з , і , знайдіть найменше невід'ємне ціле число так, що . Це випливає з того, що порядок дорівнює плюс найменший негативний так що .$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$

---

Перше скорочення: твердження полягає в тому, що звичайна проблема дискретного журналу над розширеннями відображення - зводиться до цієї проблеми. Звідси випливає той факт, що множення в є лінійним перетворенням, коли ми розглядаємо як -вимірний векторний простір над . Отже, питання форми над стає над , де є - мірні вектори, а являє собою$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$матриця, по всьому . Вектор можна легко обчислити з , від , а - це лише представлення , яке можна записати ефективно . Здається, це все ще є важким випадком загальної проблеми дискретного журналу, навіть якщо (але , природно, зростає ). Зокрема, люди все ще змагаються, щоб побачити, як далеко вони можуть це обчислити.$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$

---

Друге зменшення: твердження полягає в тому, що ваша проблема зводиться до сильної дискретної проблеми журналу через розширення . Це зменшення має кілька штук, тому пробачте довжину. Нехай вхід - -вимірні вектори і матриці , по всьому ; мета - знайти так, щоб .$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

Основна ідея - написати в Йорданії канонічну форму (JCF), з якої ми можемо звести тестування до сильної дискретної задачі журналу з деякою прямолінійною алгеброю.$A$$y = A^tx$

Однією з причин використання канонічної форми за подібністю матриць є те, що якщо , то . Отже , ми можемо перетворити до , де в даний час знаходиться в набагато краще , ніж формат довільного . JCF - це дуже проста форма, яка дозволяє решту алгоритму. Тож припустимо, що вже є у JCF, але також дозвольте, що та можуть мати записи у полі розширення .$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

Зауваження: Є деякі тонкощі, які виникають при роботі з JCF. Зокрема, я припускаю, що ми можемо виконувати польові операції в будь-якому розширенні (незалежно від того, наскільки велика) за один час, і що ми можемо ефективно обчислити JCF. апріорі це нереально, тому що для роботи з JCF може знадобитися робота в полі розширення (поле розщеплення характеристичного многочлена) експоненціального ступеня. Однак, з певною обережністю і використовуючи той факт, що ми працюємо над обмеженим полем, ми можемо обійти ці проблеми. Зокрема, ми будемо асоціювати з кожним блоком Йордану поле ступеня не більше над$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ так що всі записи в блоці Jordan та відповідні елементи , всі живуть у межах . Поле може відрізнятися від блоку до блоку, але використання цього `` змішаного представлення' 'дозволяє ефективно описувати JCF, що до того ж можна знайти ефективно. Алгоритм, описаний у решті цього розділу, повинен працювати лише з одним блоком за один раз, доки він виконує свої польові операції в асоційованому полі , алгоритм буде ефективним. [кінцеве зауваження]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

Використання JCF дає нам рівняння наступної форми, причому кожне рівняння відповідає блоку Йордана:

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

Алгоритм буде обробляти кожен блок окремо. У загальному випадку для кожного блоку у нас буде запит на наш сильний дискретний журнал оракул, з якого оракул повідомляє нам умову модульності, . Ми також отримаємо набір так що повинен утримувати . Обробивши всі блоки, нам потрібно буде перевірити, чи є вибір який задовольняє сполучники всіх цих умов. Це можна зробити, переконавшись, що у всіх множинах є загальний елемент щоб рівняння і$t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$$\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$$t = s \pmod p$$t = z_j \pmod{m_j}$всі одночасно задовольняються, де знаходиться в межах блоків.$j$

Також є деякі особливі випадки, які виникають протягом усієї процедури. У цих випадках, ми отримаємо умову виду для деякого значення , або в формі для деяких конкретних цілого числа , з певних блоків, або ми могли б навіть знайти , що ні не може існувати . Вони можуть бути включені в логіку для загального випадку без проблем.$t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

Тепер ми описуємо підпроцедуру для обробки кожного блоку Jordan. Зафіксуйте такий блок.

Почніть із зосередження лише на останній координаті в блоці. Умова вимагає, щоб . Іншими словами, це екземпляр дискретної проблеми журналу в деякому розширенні поля . Потім ми використовуємо оракул для його вирішення, який або не призводить до рішення, або ж дає умову модульності на . Якщо "рішення не прийнято", ми повертаємося із зазначенням такого. В іншому випадку ми отримуємо умову , яка еквівалентна .$y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$$t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

Для обробки інших координат ми почнемо з наступної формули (див., Наприклад, тут ):

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ & & & \ lambda ^ t & \ binom {t} {1} \ лямбда ^ {t-1} \\ & & & & \ \ лямбда ^ t \ кінець {bmatrix } Спочатку давайте подбаємо про випадок, у якому$x_k = 0$ . Оскільки у нас вже є умова модульності, яка передбачає , можна припустити, що також. Але тоді ми можемо просто перейти до зосередження уваги на перших записах і , і верхній лівий підматрицю блоку Jordan. Отже, відтепер припустимо, що .$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$$x_k \ne 0$

По-друге, ми обробляємо випадок, коли . У цьому випадку сили Йорданського блоку мають особливу форму, і сила або для деякого , або , без інших умов. Я не буду ставитись до справи, але достатньо сказати, що кожну можна перевірити на ефективність. (Як варіант, ми можемо перейти до випадку, коли є зворотним; дивіться мій коментар до цього питання.)$\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

Нарешті, ми приходимо до загальної справи. Оскільки у нас вже є умова модульності, з якої випливає, що , ми можемо вважати, що ця умова виконується, і використовувати в якості резервного для . Більш загально, ми можемо використовувати для представлення . Таким чином, нам потрібно перевірити, чи відповідає наступна система для певного вибору : $y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ y_kx_k ^ {- 1} \ кінець {bmatrix} \ початок {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \ vdots \\ x_ {k-1} \\ x_ {k} \\ \ кінець {bmatrix} Зауважте, що чи має місце рівняння, залежить лише від ; це тому, що залежність від є лише многочлена, $t \pmod{p}$$t$$t$ повинно бути цілим числом, і наведені рівняння знаходяться над полем, характерним . Отже, ми можемо просто спробувати кожне значення окремо. Набір ми повернемо, - це лише вибір для якого система задоволена.$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

Отже, за винятком деяких особливих випадків, під-процедура блоку знайшла умову модульності і набір так що один з повинен утримувати деякий . Ці умови еквівалентні у цьому конкретному блоці Йорданії. Отже, ми повертаємо їх з підпроцедури. У спеціальних випадках або робиться висновок, що не може існувати (у цьому випадку підпроцедура негайно повертає вказівку на це), або ж у нас є умова модульності і якась особлива умова, наприклад для цілого числа , або для деякого цілого числа$t = a \pmod{m}$$S$$t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$ . У будь-якому випадку, всі задіяні умови еквівалентні у цьому блоці Джордана. Отже, як було сказано вище, підпроцедура просто повертає ці умови.$y = A^tx$

На цьому завершується специфікація підпроцесу для блоку та алгоритму в цілому. Його правильність та ефективність випливають із попередньої дискусії.

---

Тонкощі використання JCF у другому скороченні: Як було сказано у другому скороченні, є деякі тонкощі, які виникають при роботі з JCF. Є кілька спостережень для пом'якшення цих проблем:

• Розширення кінцевих полів є нормальними . Це означає , що якщо є непріводімим многочленом над , то будь-яке розширення , що містить корінь містить всі корені . Іншими словами, поле розщеплення невідворотного многочлена ступеня має ступінь лише над .$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• Існує узагальнення Йорданської канонічної форми, яка називається первинною раціональною канонічною формою (PRCF), яка не вимагає запису розширень поля. Зокрема, якщо - матриця із записами в , то ми можемо записати для деяких матриць із записами в , де більше знаходиться в PRCF. Додатково, якщо ми робимо вигляд, що записи live у полі extending яке містить усі власні значення , то$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$$A$$Q$насправді буде в JCF. Таким чином, ми можемо розглядати обчислення JCF як особливий випадок обчислення PRCF.$A$

• Використовуючи форму PRCF, ми можемо розраховувати обчислення JCF як$A$

  1. обчислення PRCF над$A$$\mathbb{F}_q$

  2. обчислення PRCF кожного блоку (запозичення позначення зі статті Вікіпедії) в PRCF , над полем розширення , де вибрано , щоб містити всі власні значення$C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  Ключова перевага цієї факторизації полягає в тому, що всі характерні поліноми блоків будуть невідворотніми , і, отже, за нашим першим спостереженням ми можемо вибрати щоб мати ступінь розміру (що становить не більше ) над . Мінус полягає в тому, що зараз ми повинні використовувати різні поля розширення для представлення кожного блоку JCF, тому подання є нетиповим і складним.$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

Таким чином, з огляду на здатність ефективно обчислювати ФКНР, ми можемо обчислити відповідну кодування ГФДА ефективно, і це кодування так , щоб працювати з будь-яким конкретним блоком ГФДА може бути зроблена в поле розширення ступеня над .$n$$\mathbb{F}_n$

Як для ефективного обчислення ФКНР, паперу « Раціональний Канонічна форма алгоритму » (KR Меттьюз, Математика. Bohemica 117 (1992) 315-324) дає ефективний алгоритм для обчислення ФКНР , коли розкладання характеристичного полінома , як відомо . Для фіксованої характеристики (такої, яку ми маємо) факторизування одновимірних многочленів над кінцевими полями можна виконати в детермінованому поліноміальному часі (див., Наприклад, " Про новий алгоритм факторизації для поліномів над кінцевими полями " (Х. Нідеррейтер та Р. Готферт, математика). Обчислення 64 (1995) 347-353).), Тому PRCF можна обчислити ефективно.$A$