Підтримання значення многочлена над динамічно оновленим входом

10

Нехай - поліном над фіксованим кінцевим полем. Припустимо, нам задано значення для деякого вектора та вектора . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Тепер ми хочемо обчислити значення для вектора таке, що і різняться в точно одній позиції (іншими словами, перевернемо рівно один біт на ). Який простір та час компенсації цієї проблеми? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Наприклад, якщо $r$ це число одночленним в , ми можемо зберігати коефіцієнти і значення всіх Мономах . Якщо перевернуто, ми фіксуємо значення кожного одночлена, що містить а потім значення використовуючи збережену інформацію. Загалом нам потрібен час та простір. $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Я нічого не кажу про те, як ми за призначенням ототожнюємо одночлени, що містять . Ви можете вибрати будь-яке розумне представлення , у прикладі я припускаю, що ми зберігаємо список одночленів, що містять для кожного .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

Чи є щось краще?

polynomials dynamic-algorithms

— Тетяна Стариковська
джерело

7

Ваша ідея узагальнюється наступним чином: задавши алгебраїчну схему (над кінцевим полем) або булеву схему (обчислюючи біт-розумне представлення ваших елементів кінцевого поля), обчислюючи , а потім підтримуйте значення на кожному затворі в ланцюзі. Коли ви змінюєте -й біт , просто поширіть цю зміну вздовж DAG ланцюга, починаючи з входу . Якщо схема має розмір , це займає час і простір . Це може бути набагато меншою, ніж кількість одночленів (що відповідає розміру алгебраїчних схем глибини лише 2). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Джошуа Грохов
джерело

1

Я не впевнений, чи було це навмисно, але проблема не говорить про те, що нам дано

, просто

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Ендрю Морган

1

@AndrewMorgan Залежить від вашої заявки, на моєму чудово вважати, що y дано. Дякую за коментар!

— Тетяна Стариковська

2

@AndrewMorgan: Дійсно, хоча це технічно правда, те, як формульовано приклад побудови в OQ, здавалося, неявно припускає, що

дано. Якщо

не дано, я думаю, що ця проблема стає набагато складнішою. (Тетяна, можливо, варто додати це як уточнення до питання.)

y

$y$

y

$y$

— Джошуа Грохов,

5

Легко змінити підхід для зберігання монометів таким чином, щоб кожне оновлення вимагало часу лише пропорційне кількості змінених мономеїв: просто оновіть загальне значення полінома, додаючи нове значення та віднімаючи старе значення для кожного зміненого мономера.

Якщо у вас є формула для читання один раз для (тобто кожна змінна з'являється на одному аркуші дерева формули, і кожен внутрішній вузол є арифметичною операцією з двома входами, як плюс чи раз), ви можете підтримувати значення у логарифмічному значенні час за оновлення за допомогою дерева граблі-стискання за формулою. Застосовуючи цей підхід до довільної формули, час на оновлення змінної, яка з’являється разів, буде де - розмір формули. Таким чином, за винятком log коефіцієнта, це узагальнює обмеження для кількості змінених одночленів і стосується більш загальних типів розширення многочлена у формулу. $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— Девід Еппштейн
джерело