Чи існує алгоритм наближення постійного фактора для задачі на фарбування 2D прямокутника?

Проблема, яку ми розглянемо тут, - це розширення відомої проблеми фарбування інтервалів. Замість інтервалів ми вважаємо прямокутники, які мають сторони, паралельні осям. Метою є забарвлення прямокутників, використовуючи мінімальну кількість кольорів таким чином, щоб будь-яким двома прямокутниками, що перекриваються, присвоювали різні кольори.

Як відомо, ця проблема є важкою для NP. Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein та Andrezej Lingas (апроксимація максимального незалежного набору та мінімального забарвлення вершин на графіках поля) дали наближення O (log n). Чи є кращий алгоритм наближення?

Ми знаємо, що задача інтервального забарвлення вирішується в поліноміальний час алгоритмом першої підгонки шляхом розгляду інтервалів відповідно до їх лівих кінцевих точок. Однак онлайн-алгоритм першого підходу є 8-конкурентоспроможним, коли інтервали відображаються у довільному порядку.

Яка ефективність алгоритму першого розміщення для проблеми фарбування прямокутника? Що відбувається з алгоритмом першої підгонки, коли прямокутники з’являються відповідно до їх лівої (вертикальної) сторони?

Заздалегідь дякую за будь-яку допомогу з цього питання.

Як запропоновано іншою відповіддю, нижню межу $\Omega(\log n)$ не надто важко помітити. Зробимо підмітання знизу вгору горизонтальною лінією. Ідея полягає у створенні компонентів, які потребують більшої та більшої кількості кольорів. Зокрема, нехай $C(i)$ є пристосунком, який має верхній прямокутник з кольором $i$ (тобто, перший підпис призначив би йому колір $i$ ). Зрозуміло, що $C(1)$ - це лише один прямокутник. Компонент $C(2)$ є

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

$O( \log n)$

Наскільки мені відомо, це не відомо. Старий папір Асплунда і Грюнбаума (1960-і роки) показує, що якщо число кліки 2, то хроматичне число становить не більше 6 (і це щільно). Я думаю, що слід легко створити приклади, коли розрив для першої підгонки більший, ніж будь-який постійний, оскільки дерева можуть бути представлені графіком перетину прямокутників, а дерева потребують кольорів журналу n за будь-яким онлайн-алгоритмом.

Я думаю, що папір Асплунда, Грюнбаума чи пізніші документи також показують, що хроматичне число графіків перетину прямокутника не більше O (k ^ 2), де k - розмір максимальної кліки ... однак, невідомо приклади, які вимагають більше, ніж лінійного в k кількості кольорів.