Багатопрофільна проблема

12

Я шукаю ім’я або будь-які посилання на цю проблему.

За даним зваженим графіком знайдіть розділ вершин на довстановлює , щоб максимально збільшити значення обрізаних ребер: Зверніть увагу, що деякі з наборів можуть бути порожніми. Таким чином, проблема є по суті max k-cut, за винятком не є частиною вхідних даних: алгоритм може вибрати будь-який $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$ це подобається так, щоб максимально збільшити значення обрізаних країв. Очевидно, що проблема є тривіальною, якщо ваги ребер не негативні: просто розмістіть кожну вершину окремо у власному наборі, і ви вирізаєте всі ребра. Але, щоб зробити речі цікавими, дозволені грані з негативною вагою.

Це вивчена проблема? Посилання на результати алгоритмічності чи твердості були б вдячні!

— Аарон Рот
джерело

2

Щоб отримати більше інтуїції щодо проблеми, що ви знаєте про прості спеціальні випадки? Наприклад, що робити, якщо ваги становлять лише або ? Що робити, якщо - це повний графік, а ваги ?

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

— Юкка Суомела

11

Проблема полягає у варіанті кореляційної кластеризації (CC) Bansal, N., Blum, A. та Chawla, S. (2004). "Кореляційна кластеризація". Журнал машинного навчання (Спеціальний випуск про теоретичні досягнення в кластеризації даних, стор. 86–113, дої: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

Оригінальна формула CC знаходиться на повному графіку і для кожного краю ми маємо дві ваги: та . Враховуючи розділ , нехай дорівнює якщо і знаходяться в одному кластері і іншому випадку. Тоді значення розділу на дорівнює . $G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

Ваша проблема еквівалентна для всіх v, w і допускає від'ємне (оригінальний папір допускається лише + 1, -1 ваги). Стаття Ерік Д. Демен, Дотан Емануель, Амос Фіат, Ніколь Імморіліка: Кореляційна кластеризація загальних зважених графіків. Теорія. Обчислення. Наук. 361 (2-3): 172-187 (2006) http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2006.05.008 дає алгоритм апроксимації для загального (тобто не повного) графіки. Я вважаю, що це може бути поширене і на вашу проблему, і я не виключав наближення постійного фактора. $a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

Описані PTAS засновані на техніці плавного поліноміального програмування: в загальному випадку я не думаю, що ваша проблема задовольнила б вимогу методики.

— Джанлука Делла Ведова
джерело

18

Я не знаю жодних посилань, але я можу показати, що він завершений NP, зменшившись від забарвлення графіка.

Давши графік G і число k кольорів, за допомогою яких слід пофарбувати G, складіть новий графік G ', який складається з G разом з k новими вершинами, таким чином, щоб кожна нова вершина була з'єднана з кожною вершиною в G. Призначте вагу + к кожен край G, вага + кн до кожного краю, що з'єднує дві k нових вершин, і вага -1 до кожного з ребер, що з'єднують k нових вершин з G.

Тоді, якщо G може бути k-кольоровим, забарвлення (разом із розділом, який присвоює кожну з нових вершин одному з кольорових класів) досягає загальної ваги kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) п.

В іншому напрямку, якщо у вас є перегородка, яка досягає цієї загальної ваги, вона повинна вирізати всі ребра G і всі ребра між парами нових вершин. Вирізання всіх ребер G визначає забарвлення G, а різання країв між парами нових вершин означає, що кожна вершина G може бути суміжною щонайменше з однією з k нових вершин. Отже, щоб отримати оптимальний - (k-1) n додаток у вазі, кожна вершина G повинна бути суміжною з точно однією з нових вершин, і тому в кольорі можуть бути лише k кольорових класів, визначених перегородка.

Тобто, розділи із заданою ваговою межею знаходяться у відповідності 1-1 з k-забарвленнями G, тому це визначає скорочення від забарвлення до вашої проблеми з розділами.

— Девід Еппштейн
джерело

11

Дозвольте мені доповнити приємне підтвердження повноти Девіда, додавши посилання на особливий випадок, який запитав Юкка в коментарі до цього питання. Якщо графік - це повний графік, а ваги краю обмежуються до ± 1, задача еквівалентна задачі, повній NP, відомій як редагування кластерів.

Редагування кластерів - це наступна проблема, яку запровадили Шамір, Шаран та Цур [SST04]. Тут кластерний графік - це графік, який являє собою об'єднання кліків, що розмежовуються між вершинами, а правка - це додавання або видалення одного краю.

Екземпляр редагування кластера : графік G = ( V , E ) і ціле число k ∈ℕ.
Запитання : Чи можна перетворити G у кластерний графік максимум на k редагування?

Редагування кластерів завершено NP [SST04].

Щоб побачити редагування кластерів еквівалентно вищезазначеному окремому випадку поточної проблеми, нехай G = ( V , E ) є графіком. Нехай n = | V | і розглянемо G як підграф повного графа K _n . У К _п , дають вага -1 до країв в G і ваги +1 до країв не в G . Тоді G може бути перетворений у графік кластера, максимум k редагувань, якщо і лише тоді, коли існує розділ ( S ₁ ,…, S _n ), такий що c ( S ₁ ,…,S _n ) ≥ - | E | - k для цього зваженого повного графа K _n . $\binom{n}{2}$

[SST04] Рон Шамір, Родед Шаран та Декель Цур. Проблеми з модифікацією графіка кластерів Дискретна прикладна математика , 144 (1–2): 173–182, листопад 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Цуйосі Іто
джерело