Як можна не закінчувати

Я думав над цими питаннями:

Чи є введене лямбда-числення, яке є послідовним і Тюрінг завершеним?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

а в нетипізованій обстановці вже є важко відповісти на відповідні запитання ! Більш конкретно, мені цікаво дізнатись, чи зможемо ми відновити повноту Тьюрінга від припинення таким чином:

Питання: З огляду на (чистий) $\lambda$ -term $t$ з НЕ слабкою головний нормальною формою, не існує завжди існує фіксована точка комбінатора $Y_t$ такі , що
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Для всіх рівностей взято модуль $\beta\eta$ .

Я фактично підозрюю, що ця версія питання є помилковою , тому можна послабити це питання на циклічні комбінатори , де певний комбінатор $Y$ визначається як такий термін, що для кожного $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ де

Y^{'}

$Y'$ знову потрібно бути петельним комбінатором. Цього достатньо, щоб, звичайно, визначити рекурсивні функції, як зазвичай.

Загалом, мені цікаво знайти "природні" способи переходу від не закінчуваного $t$ до циклічного комбінатора, навіть якщо вищевказане рівняння не задоволено.

Мене також цікавлять слабші версії вищезазначеного питання, наприклад, $t$ може сприйматися як додаток $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ з кожним $t_i$ в нормальній формі (хоча я не впевнений, що це справді допомагає).

Поки що: природним підходом є прийняття $t$ і «перцевих» застосувань $f$ всьому протязі, наприклад

Ω : = (λ х . х х) (λ х . х х)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

стає звичним

Y_{Ω} : = λ f . (λ х . f (х х)) (λ х . f (х х))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

Ідея полягає в тому, щоб звести голову $t$ до лямбда-додатку $\lambda x. t'$ і замініть його на $\lambda x.f\ t'$ , але наступний крок незрозумілий (і я скептично налаштований, що це може призвести до чого завгодно).

Я не впевнений, що я досить добре розумію про дерева Бьома, щоб побачити, чи мають вони щось сказати, але я дуже сумніваюся в цьому, оскільки дерево Böhm $\Omega$ просто $\bot$ , що не схоже на те, що для $Y_\Omega$ дерево: нескінченне дерево абстракції.

Редагувати : Мій друг зауважив, що цей наївний підхід не працює з терміном: Наївний підхід дав би Але це не комбінатор з фіксованою точкою! Це можна виправити, замінивши друге додаток на

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

, але

не дає початковий термін. Не ясно, чи цей термін є протилежним прикладом до початкового питання (і це, звичайно, не є протилежним прикладом до більш загального).

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— коді
джерело

Я вважаю, що вимогу про те, що у t немає нормальної форми голови, слід посилити, щоб також виключити нормальні форми слабкої голови. Якщо t здатне виробляти лямбда, то, оскільки в положенні голови у вас завжди є фіксатор точкової точки (починаючи з f = id), лямбда повинна вироблятися нею, це неможливо.

— Андреа Асперті

@AndreaAsperti, звичайно, ти прав. Я поправлю питання.

— коді

У цього дуже приємного питання є кілька аспектів, тому я відповідна структура цього відповіді. $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. Відповідь на поставлене в коробці питання - ні . Термін запропонований вашим другом, насправді є контрприкладом. $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

Раніше в коментарях було помічено, що можна зустріти такі приклади, як "огрів" , поки питання не обмежується термінами без слабкої голови нормальної форми. Такі терміни відомі як нульові терміни . Це терміни, які ніколи не зводяться до лямбда, ні при якій заміні. $K^\infty=Y K$

Для будь-якого комбінатора з фіксованою точкою (fpc) , - це так званий приглушений (AKA "root-active") термін: кожне його зменшення ще більше зменшується до переналагодження. $Y$ $Y I$

не мут; також не є як це виявляється при огляді його набору редукторів, який є $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

Замість того, щоб дати точний аргумент, чому відключений для всіх fpcs (справді, для будь-якого циклічного комбінатора) що може бути трудомістким, але, сподіваємось, досить зрозумілим $Y I$ $Y$ $-$ $-$ я буду розглядати очевидне узагальнення вашого питання, обмежуючись також і глумими термінами.

Немовні терміни - це підклас нульових термінів, які є підкласом нерозв'язних термінів. Разом це, мабуть, найпопулярніший вибір для поняття "безглуздого" або "невизначеного" в обчисленні лямбда, що відповідає тривіальним деревам Берардуччі, Леві-Лонго та Б \ "Ома відповідно". Решітка понять безглуздих термінів детально проаналізовано Паула Севері та Фер-Ян де Вріс. [1] Поняття "німий" становлять нижній елемент цієї решітки, тобто найбільш обмежувальне поняття "невизначене".

2. Нехай - немий термін, а - циклічний комбінатор із властивістю, яка $M$ $Y$ $YI = M$ .

По-перше, ми стверджуємо, що для свіжої змінної , насправді дуже схожа на описану вами , отриману "посипанням навколо" деяким скороченням $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$ .

За Черч-Россером, і мають спільне скорочення, . Візьміть стандартне зменшення . Кожна підрядок відповідає унікальній підтермі при цьому зменшенні. Для будь-якої підтермії , коефіцієнти як $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ , де середня нога - це слабке скорочення голови (а кінцева нога - внутрішня). "охороняється" iff, якщо цей другий етап укладає деякий передекс , а - нащадок заміни . $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

Очевидно, має охороняти деякі підряди $Y$ $M$ , бо інакше це було б також . З іншого боку, слід бути обережним, щоб не охороняти ті підтерміни, які потрібні для припинення, бо в іншому випадку воно не могло б розробити нескінченне B \ "омне дерево циклічного комбінатора.

Таким чином, досить знайти приглушений термін, в якому кожна підтермія, кожне скорочення потрібне для ненормованої норми, в тому сенсі, що, якщо розміщення змінної перед цією підтерміною дає результат нормалізації.

Розглянемо , де . Це як , але при кожній ітерації ми перевіряємо, що поява у положенні аргументу не «блокується» головною змінною, подаючи їй ідентичність. Введення перед будь-подтермой, в кінцевому рахунку дає нормальну форму форми , де кожен є або , або « -sprinkling» з них. Отже $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$ є контрприкладом до узагальненого питання.

ТЕОРЕМА. Немає циклічного комбінатора такого, що $Y$ $YI = \Psi$ .

ДОКАЗ. Безліч всіх редукт є . Для того, щоб бути конвертованим з , повинен звести до одного з них. Аргумент у всіх випадках однаковий; для визначеності припустимо , що . $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

Будь-яке стандартне зменшення може враховуватися як $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

Звернімося до скорочення як , а скорочення, починаючи з як $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$ .

Ці скорочення можна підняти над заміною щоб отримати так що - склад $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

$R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

$N^z_i$ $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

So $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ , with $N^z_i$ a $z$ -sprinkling of $I$ for $i =1,2$ and of $W$ for $i=3,4$ .

At the same time, the term $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ should yet reduce to yield the infinite fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$ . So there must exist a "sprinkle" $z^{k_j}$ in one of the $N^z_i$ which comes infinitely often to the head of the term, yet does not block further reductions of it.

And now we are done. By inspecting each $N^z_i$ , for $i \le 4$ , and each possible value of $k_j$ , for $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , we find that no such sprinkling exists.

For example, if we modify the last $W$ in $IIWW$ as $W^z = \lambda w. z(wIww)$ , then we get the normalizing reduction

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

(Notice that $\Omega$ admits such a sprinkling precisely because a certain subterm of it can be "guarded" without affecting non-normalization. The variable comes in head position, but enough redexes remain below.)

3. The "sprinkling transformation" has other uses. For example, by placing $z$ in front of every redex in $M$ , we obtain a term $N = \lambda z. M_z$ which is a normal form, yet satisfies the equation $N I = M$ . This was used by Statman in [2], for example.

4. Alternatively, if you relax the requirement that $Y I = M$ , you can find various (weak) fpcs $Y$ which simulate the reduction of $M$ , while outputting a chain of $z$ s along the way. I am not sure this would answer your general question, but there are certainly a number of (computable) transformations $M \mapsto Y_M$ which output looping combinators for every mute $M$ , in such a way that the reduction graph of $Y_M$ is structurally similar to that of $M$ . For example, one can write

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposing the Lattice of Meaningless Sets in the Infinitary Lambda Calculus. In: Beklemishev L.D., de Queiroz R. (eds) Logic, Language, Information and Computation. WoLLIC 2011. Lecture Notes in Computer Science, vol 6642.

[2] Richard Statman. There is no hyperrecurrent S,K combinator. Research Report 91–133, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
джерело

This answer is great, and I will likely accept it. However, I'm not sure what the actual theorems you are describing, other than "there is no looping combinator

Y

$Y$ such that

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$ ". I think stating the theorems separately will make the arguments much easier to follow.

— cody

Good point. I just updated the answer.

— Andrew Polonsky