Мінімальна кількість арифметичних операцій для обчислення визначника

Чи була якась робота з пошуку мінімальної кількості елементарних арифметичних операцій, необхідних для обчислення визначника матриці $n$ на $n$ для малих і нерухомих $n$ ? Наприклад, $n=5$ .

cc.complexity-theory linear-algebra determinant

— Лембік
джерело

Я запитав експертів про це, і, мабуть, наразі навіть невідомо, чи потрібно 9 множень для обчислення детермінантної матриці 3x3.

— Джефрі Шалліт

@JeffreyShallit Якщо можливо

9

$9$ , це вже цікаво (наприклад, це менше, ніж

n^{3}

$n^3$ ). Як щодо

n = 4

$n=4$ ?

— Лембік

Ні, зовсім не цікаво. 9 множення на n = 3 випливає з розширення на неповнолітні. Для n = 4 знову розширення на неповнолітніх дає 40. Я не знаю, як це зробити менше ніж у 40 множеннях.

— Джеффрі Шалліт

@JeffreyShallit О, бачу, хороший момент. Дивовижно (принаймні, для мене), якщо не знайдено нічого кращого, ніж наївний, для жодної фіксованої

n

$n$

— Лембік

Якщо хтось знає, можливо, він може нам сказати.

— Джеффрі Шалліт

Відомо, що число арифметичних операцій, необхідних для обчислення визначника матриці є , де - константа множення матриці. Дивіться, наприклад, цю таблицю у Вікіпедії, а також її виноски та посилання. Зауважимо, що асимптотична складність інверсії матриці також така ж, як і множення матриці в цьому ж сенсі. $n\times n$ $n^{\omega+o(1)}$ $\omega$

Еквівалентність досить ефективна. Зокрема, ви можете рекурсивно обчислити визначник матриці , працюючи над блоками, використовуючи доповнення Шура: $n\times n$ $(n/2) \times (n/2)$

D invertible ⟹ det (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = det (D) det (A - B D^{- 1} C) .

$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$

Таким чином, ви можете обчислити визначник, обчисливши два детермінанти, перевернувши одну матрицю, помноживши дві пари $n\times n$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ матриць і деякі більш прості операції. Розширюючи детермінантні виклики рекурсивно, складність у підсумку переважає множення матриці та інверсія.

$n$ $n=4$ $\det(D)$ $D^{-1}$ $BD^{-1}C$ $2\times 8=16$ $\det(A-BD^{-1}C)$ $2+4+16+2+1=25$ $40$

$O(n^4)$ $n^{2+\omega/2+o(1)}$

— А. Рекс
джерело

Чи знаєте ви будь-яку нижню межу лише кількості множень? Навіть при n = 3?

— Джефрі Шалліт

n \times n

$n \times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega +o(1)}$

Нижня межа є у статті В.Баура та В.Страссена "Складність часткових похідних" ( dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X )

— Володимир