Регулярні мови та постійна складність спілкування

Нехай бути мовою, а також визначити по тоді і тільки тоді . Я шукаю посилання на: $L \subseteq A^*$ $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ $f_L(x, y) = 1$ $x\cdot y \in L$

Пропозиція. регулярний, якщо детермінована комунікаційна складність є постійною. $L$ $f_L$

Іншими словами, є регулярним, якщо існує протокол для двох гравців для таким чином, що функція обмежений константою, де має число біт , обмінюється Алісою і Бобом коли Аліса отримує і Боб , в відповідно до протоколу . $L$ $P$ $f_L$

n \mapsto max {comm (P, x, y) : | x \cdot y | = n}

$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$

comm (P, x, y)

$\text{comm}(P, x, y)$

x

$x$

y

$y$

P

$P$

Єдине місце, яке я міг би знайти, - це докторська дисертація Джорджа Хаузера, 1989, доступна тут , де він також узагальнює, що для інших розподілів вхідних даних $x\cdot y$ серед Аліси та Боба, таким чином, що кількість "скорочень" є постійною.

reference-request communication-complexity regular-language

— Міхаель Каділхак
джерело

Візьміть мову

C

$C$ яка не є регулярною, і визначте

L = {c \circ r : c \in C, r \in {0, 1}^{| c |}}

$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$ . Тоді

L

$L$ має складність зв'язку

O (1)

$O(1)$ , але це, звичайно, не регулярно. Що я пропускаю?

— Ігор Шинкар

@IgorShinkar: Я не впевнений, що я зрозумів саме те, що ви там написали, але, здається, ви натякаєте на класичний доказ того, що кожна мова з одним словом на довжину може бути перетворена на мову з постійною складністю спілкування. Однак це передбачає, що Аліса та Боб отримують рівно половину тестуваного слова; тут такого припущення немає, і, в суперечливому порядку, вони повинні вирішити проблему, враховуючи будь-який розкол вхідних даних. Це відповідає на ваше запитання?

— Michaël Cadilhac

О Я бачу. Отже, якщо для будь-якого розколу КС є постійним, то є регулярним.

L

$L$

— Ігор Шинкар

Для ви маєте "Складність спілкування", Еял Кушилевіц з авансами комп’ютерів, том 44, 1997 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 ). $\Rightarrow$

Ви також можете знайти розділ "Складність комунікацій та ієрархія Хомського" у книзі "Складність комунікацій та паралельні обчислення" Юрая Громковича, де це доведено. Можливо, також доводиться десь у книзі, але я не можу його знайти тут. Найближчим, що здається, є вправа 5.2.5.2, але це лише вправа (див. Також усю главу 5, яка детально вивчає кінцевий автомат, але я не думаю, що це прямо відповідає на ваше запитання). $\Leftarrow$

Для чого це варто, підтвердження обох напрямків виглядає просто, тому я думаю, що якщо вам це потрібно в папері, ви можете його швидко замалювати: для візьміть кінцевий автомат для і зауважте, що Алісі достатньо спілкуватися стан, до якого вона досягає після того, як прочитала її частину вступу. Потім Боб закінчує моделювання в автоматах. Для , якщо у вас є протокол, обмежений постійною, то має кінцеву кількість коефіцієнта що є добре відомою характеристикою регулярних мов . $\Rightarrow$ $L$ $\Leftarrow$ $L$ $w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$

— холф
джерело

Дуже дякую за ваш внесок. Я погоджуюся, що це простий результат і природний при цьому, і, мабуть, його слід вважати фольклором. Я знаю два посилання, які ви даєте досить добре, насправді, і, як і ви, не зміг знайти в ньому протокол, який я розглядаю вище. Оскільки це запитання є "довідковою запитом", я боюся, що я не можу прийняти вашу відповідь на даний момент.

— Michaël Cadilhac

Я знаю, але для коментарів це було занадто довго, і я вважаю, що все-таки варто згадати, що принаймні один із способів є чітко доведеним у літературі. Я даю вам знати, якщо я натрапляю на доказ!

— Холф

Дуже вдячний! :-)

— Michaël Cadilhac