Чи є SAT безтекстовою мовою?

Я розглядаю мову всіх задовольняючих пропозиційних логічних формул, SAT (щоб переконатися, що в цьому є кінцевий алфавіт, ми би кодували пропозиції пропозицій якимись підходящими способами [редагувати: у відповідях зазначалося, що відповідь на запитання може бути недостатньо надійним різні кодування, тому потрібно бути більш конкретними - див. мої висновки нижче] ). Моє просте запитання

Чи є SAT безтекстовою мовою?

Перша моя здогадка полягала в тому, що відповідь сьогодні (на початку 2017 року) має бути «Ніхто не знає, оскільки це стосується невирішених питань теорії складності». Однак це насправді не вірно (див. Відповідь нижче), хоча і не зовсім помилкове. Ось короткий підсумок речей, які ми знаємо (починаючи з очевидних речей).

1. SAT не є регулярним (тому що навіть синтаксис логіки пропозицій не є регулярним, через відповідні дужки)
2. SAT є контекстно-залежним (для нього не важко дати LBA)
3. SAT є NP-завершеним (Cook / Levin), і, зокрема, вирішують недетерміновані ТМ у поліноміальний час.
4. SAT також можна розпізнати за допомогою односторонніх недетермінованих стекових автоматів (1-NSA) (див. Раунд WC, Складність розпізнавання в мовах проміжного рівня , Теорія комутації та автоматики, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5 )
5. Проблема слів для без контекстних мов має власний клас складності $\textbf{CFL}$ (див. Https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl )
6. , де LOGCFL - клас проблем журналу просторів, зведений до CFL (див.Https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl). Відомо, що NL ⊆ LOGCFL .$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. $\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$$\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

Однак цей останній момент все ще залишає можливість того, що SAT, як відомо, не міститься в . Взагалі, я не міг багато дізнатися про зв’язок до ієрархії що може допомогти з’ясувати епістемічний статус мого питання.$\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

Зауваження (побачивши деякі початкові відповіді): Я не сподіваюся, що формула буде в сполучній нормальній формі (це не змінить суті відповіді, і зазвичай аргументи все ще застосовуються, оскільки CNF - це також формула. Але стверджують, що версія проблеми постійної кількості змінних є регулярною помилкою, оскільки потрібні дужки для синтаксису.)

Висновок: Всупереч моїй натхненній теорії складності, можна прямо показати, що SAT не є контекстним. Тому ситуація така:

1. Відомо, що SAT не є контекстним (іншими словами: SAT не знаходиться в ), при припущенні, що використовується "пряме" кодування формул, де пропоновані змінні ідентифікуються двійковими числами (і деякі додаткові символи використовуються для операторів та роздільників).$\textbf{CFL}$
2. Невідомо, чи є SAT в , але "більшість експертів вважають", що це не так, оскільки це означатиме . Це також означає, що невідомо, чи інші "розумні" кодування SAT без контексту (якщо припустити, що ми вважатимемо простір журналів прийнятним зусиллям кодування для важкої проблеми з NP).P = $\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

Зауважте, що ці два пункти не означають . Це можна показати безпосередньо, показавши, що в (отже, у ) є мови, які не є контекстними (наприклад, ).L LOGCFL a n b n c $\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

Просто альтернативне доказ із використанням суміші добре відомих результатів.

Припустимо, що:

• змінні виражаються регулярним виразом$d = (+|-)1(0|1)^*$
• і що ( звичайна ) мова (над використовується для представлення формул CNF, є: ; лише зауважте, що захоплює всі дійсні формули CNF аж до змінного перейменування.$\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

Наприклад, записується як: ( оператор має перевагу над ) .$\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

Припустимо, що відповідна формула є задоволеною - CF.$L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

Якщо ми перетинаємо його із звичайною мовою: ми все одно отримаємо мову CF. Ми також можемо застосувати гомоморфізм: , а мова залишається CF.$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

Але мова, яку ми отримуємо, є: , тому що якщо то формула "source" є що є незадовільним (аналогічно, якщо ). Але є добре відомою мовою, що не стосується CF Протиріччя$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

Якщо кількість змінних є кінцевим, то і кількість задоволених сполучників, тож ваша мова SAT є кінцевою (і, отже, регулярною). [Редагувати: ця претензія передбачає форму CNFSAT.]

В іншому випадку погодимось кодувати такі формули, як за допомогою . Ми використаємо лему Огдена, щоб довести, що мова всіх задоволених сполучників не є контекстною.$(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

Нехай - константа "маркування" в леммі Огдена, і розглянемо sat-формулу , перший пункт якої складається з - тобто кодування , де - десяткове число, що складається з ті. Ми відзначаємо они , а потім вимагаємо , щоб усі відкачування з відповідного розкладання (див укладення леми Огден) також може бути здійсненні. Але ми можемо легко заблокувати це, вимагаючи, щоб жодне застереження, що містить , де - послідовність на , коротшеw ( 1 p ) ( x N ) N p p 1 p w x q q 1 p w x q$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$$1^p$$w$$x_q$$q$$1$$p$, бути задоволеними - наприклад, гарантуючи, що в кожному іншому пункті є заперечення кожного такого . Це означає, що не дає властивості "негативної прокачки", і ми робимо висновок, що мова не є контекстною. [Примітка: я ігнорував тривіальні випадки, коли накачування створює неправильно сформовані струни.]$w$$x_q$$w$