Чи затрималися "Де справді важкі проблеми"? Які сучасні ідеї з цього питання?

Я вважав цей документ дуже цікавим. Підводячи підсумок: тут обговорюється, чому на практиці ви рідко зустрічаєте найгірший випадок проблеми, що завершується NP. Ідея статті полягає в тому, що екземпляри, як правило, дуже або недостатньо обмежені, обидва з них досить легко вирішити. Потім він пропонує для кількох проблем міру "обмеженості". Ці проблеми, схоже, мають "фазовий перехід" від 0 ймовірності рішення до 100% ймовірності. Потім гіпотеза:

1. Що всі проблеми, повні з NP (або навіть усі проблеми NP), мають міру "обмеженості".
2. Що для кожної задачі, що завершується NP, ви можете створити графік ймовірності рішення, що існує як функція "обмеженості". Більше того, цей графік буде містити фазовий перехід, коли ця ймовірність швидко і різко зростає.
3. Найгірші приклади проблем, повних NP, полягають у тому фазовому переході.
4. Те, чи лежить проблема в тому фазовому переході, залишається інваріантним при перетворенні однієї NP-повної проблеми в іншу.

Ця стаття була опублікована в 1991 році. На моє запитання, чи проводились подальші дослідження цих ідей протягом останніх 25 років? І якщо так, то що зараз про них думає мейнстрім? Чи були вони визнані правильними, неправильними, неактуальними?

Ось приблизний підсумок статусу на основі презентації, викладеної Варді на семінарі з теорії скінченної та алгоритмічної моделі (2012):

Було помічено, що важкі випадки лежать на фазовому переході від недостатньо обмеженої області. Основна думка полягає в тому, що між фазовими переходами та обчислювальною складністю задач НП існує міцний зв’язок.

$P \ne NP$$P$

Сучасне основне мислення, здається, (як зазначає Варді), що фазові переходи не пов'язані між собою з обчислювальною складністю.

Нарешті, ось стаття, опублікована в Nature, яка досліджує зв’язок між фазовими переходами та обчислювальною твердістю K-SAT.

Так, з роботи "Чизмана", "Канефського" і "Тейлора 1991 року" було багато роботи.

Пошук по оглядам фазових переходів проблем NP-Complete дасть безліч результатів. Одним з таких оглядів є Хартман і Вайгт [1]. Детальніше про вступ до вищого рівня див. У статтях американського вченого Брайана Хейса [2] [3].

Доповідь сиру, Канефського та Тейлора 1991 року - нещасливий випадок, коли комп'ютерні фахівці не звертають уваги на математичну літературу. У статті Cheeseman, Kanefsky і Taylor вони визначили Гамільтоновий цикл як фазовий перехід з пікапом вартості пошуку біля критичного порогу. Модель випадкових графів, яку вони використовували, була випадковим графіком Ердоса-Рені (фіксована вірогідність ребра або еквівалентний розподіл градусів Гаусса). Цей випадок був добре вивчений перед документом Cheeseman et all за 1991 рік з відомими майже впевненими алгоритмами поліноміального часу для цього класу графів, навіть при критичному порозі або біля нього. "Випадкові графіки" Болобаса [4] - хороша довідка. Оригінальний доказ, який я вважаю, був представлений Англіуном та Валіантом [5] з подальшими вдосконаленнями Боллобасом, Феннером та Фриз [6]. Після сиру,

Фазовий перехід для Гамільтонових циклів у випадкових графах Ердоса-Ренея існує у тому сенсі, що існує швидкий перехід вірогідності пошуку рішення, але це не означає збільшення «внутрішньої» складності пошуку гамільтонових циклів. Існують майже впевнені алгоритми поліноміального часу для пошуку гамільтонових циклів у випадкових графах Ердоса-Ренея, навіть при критичному переході, як теоретично, так і на практиці.

Поширення опитування [8] мало успіх у пошуку задоволених випадків для випадкових 3-SAT дуже близько критичного порогу. Мої нинішні знання трохи іржаві, тому я не впевнений, чи не було певного прогресу в пошуку "ефективних" алгоритмів для незадовільних випадків біля критичного порогу. Наскільки я знаю, 3-SAT - це один із випадків, коли це "легко" вирішити, якщо він задоволений і близький до критичного порогу, але невідомий (чи важкий?) У незадовільному випадку біля критичного порогу.

Мої знання трохи датовані зараз, але востаннє, коли я глибоко розглядав цю тему, було декілька речей, які мені виділялися:

• Гамільтонівський цикл "легкий" для випадкових графіків Ердоса-Рені. Де важкі проблеми для цього?
• Числовий розділ має бути вирішеним, коли дуже далеко в майже впевненій області ймовірності 0 або 1, але не існує ефективних алгоритмів (наскільки мені відомо) для навіть помірних розмірів екземплярів (1000 чисел по 500 біт кожен, наскільки я знаю, є абсолютно незмінним для сучасні алгоритми). [9] [10]
• 3-SAT "простий" для задоволених випадків біля критичного порогу, навіть для величезних розмірів екземплярів (мільйони змінних), але важкий для незадовільних випадків біля критичного порогу.

Я вагаюся, щоб включити його сюди, оскільки я не опублікував жодної рецензованої роботи, але написав дисертаціюз цього питання. Основна ідея полягає в тому, що можливий клас випадкових ансамблів (гамільтонові цикли, проблема з розділенням чисел тощо), які є "внутрішньо жорсткими", - це ті, що мають властивість "інваріантності масштабу". Стабільно розподілені розподіли - одна з найбільш природних дистрибуцій з такою якістю, що має хвости закону влади, і можна вибирати випадкові екземпляри з ансамблів NP-Complete, які так чи інакше включають стабільний розподіл. Я дав кілька слабких доказів того, що суто важкі екземпляри Гамільтонового циклу можна знайти, якщо обрані випадкові графіки зі стійким до Леві розподілом ступеня замість нормального розподілу (тобто Ердос-Реній). Якщо нічого іншого, це, принаймні, дасть тобі вихідний пункт для огляду літератури.

[1] А. К. Гартман і М. Вайгт. Фазові переходи в задачах комбінаторної оптимізації: основи, алгоритми та статистична механіка. Wiley-VCH, 2005.

[2] Б. Хейс. Найпростіша важка проблема. Американський вчений, 90 (2), 2002.

[3] Б. Хейс. На порозі. Американський вчений, 91 (1), 2003.

[4] Б. Болобас. Випадкові графіки, друге видання. Cambridge University Press, Нью-Йорк, 2001.

[5] Д. Англуін та Л. Валіант. Швидкі ймовірнісні алгоритми для схем і співпадінь Гамільтона. J. Computer, Syst. Sci., 18: 155–193, 1979.

[6] Б. Болобас, Т.І. Феннер та А.М. Фриз. Алгоритм пошуку шляхів і циклів Гамільтона у випадкових графах. Combinatorica, 7: 327–341, 1987.

[7] Б. Вандегред і Дж. Калберсон. Фазовий перехід G n, m не є складним для проблеми Гамільтонового циклу. J. AI Research, 9: 219–245, 1998.

[8] А. Браунштайн, М. Мезард та Р. Зеччина. Поширення опитування: алгоритм задоволення. Випадкові структури та алгоритми, 27: 201–226, 2005.

[9] І. Гент та Т. Уолш. Аналіз евристики для розподілу чисел. Обчислювальна розвідка, 14: 430–451, 1998.

[10] К. П. Шнорр та М. Ехнер. Скорочення базисної решітки: вдосконалені практичні алгоритми та вирішення задач підмножини. У працях основ теорії обчислень '91, Л. Будач, ред., Записки лекцій з інформатики, том 529, стор. 68–85, 1991.

25 років навчання та де сьогоднішні ідеї:

+++ ідея 1:

На моєму досвіді вирішення питань задоволення я на практиці виявив, що додавання дійсного k-пункту до формули, яку ми намагаємося вирішити, є аналогічною вирішенню змінної (nk) qbf.

Це, здавалося б, є підходом до показу поточних методів вирішення сб для NP - це непросто!

+++ ідея 2:

Інша ідея полягає в тому, що проблема AllQBF є реальною проблемою в булевій ієрархії. Проблема AllQBF полягає в наступному: створити булевий вираз Q, який вирішує всі 2 ^ n qbfs формули R. AllQBFs легко, коли вихідна формула R є монотонною або 2-cnf.

Всі QBF здаються правдоподібною дорогою до показу QBF є Exp, тому що Q часто експоненціальний, тому оцінювання призначення Q (кількісне визначення вихідної формули R) є експоненціальним. Тож дорога до доведення NP - це, принаймні, пара цеглинок.

+++ ідея 3: регулярні k-cnfs

До речі, всі дослідження фазового переходу пропустили регулярні k-cnfs, де кількість входжень змінної (в будь-якому напрямку) фіксована, подібно до регулярних графіків градусів ... Регулярні k-cnfs отримують набагато важче, ніж стандартна модель, тому що всі змінні виглядають однаково з точки зору обмежень на них.

Двадцять п’ять років тому, якраз після читання сирника, я зосередився на регулярному розфарбуванні графіка, тому що всі змінні виглядають однаково. Тож я зловживаю привілеєм моєї відповіді тут і представляю двадцять п’ять років результатів на звичайних графіках!

+++ ідея 4: "Золоті бали" за результати досліджень

Я досить широко вивчив фарбування С кольоровості D регулярних N вершинних графіків. Наступна таблиця підсумовує результати Золотої точки для регулярного розфарбовування графіка.

Для високої ймовірності було задоволено N випадкових випадків. Для дуже високого рівня N ^ 2 були задоволеними. Для Super High, N ^ 3 випадкових випадки були задоволеними.

Золотистими точками високої ймовірності (1 - 1 / N) є:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Засоби золотої забарвлення (1 - 1 / (N ^ 2)):

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Золотистими точками забарвлення супервисокої ймовірності (1 - 1 / (N ^ 3) є:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Запис C4D9 позначає чотири кольори графіків дев'ятого ступеня. Це найважчі випадкові 4cnfs, з якими я стикався за 25 років вирішення проблем. Нещодавно я розфарбував графік дев'ятого ступеня вершини 172 після десяти днів процесорного часу.

+++ Ідея 5: C5D16N ???? "Золота точка" є м'якою думкою, щоб існувати.

Спасибі, Даніель Пегушек