Чи дійсно PPAD захоплює поняття знаходження іншої неврівноваженої вершини?

Клас складності PPAD був винайдений Крістосом Пападімітріу у своїй роботі з 1994 року . Клас призначений для відображення складності задач пошуку, коли існування рішення гарантується "аргументом паритету у спрямованих графах": якщо в спрямованому графіку є неврівноважена вершина, то повинна існувати ще одна. Але зазвичай клас формально визначається з точки зору проблеми ( ), де аргумент застосовується лише до графіків із вхідними та вихідними ступенями . Моє запитання: чому ці поняття рівнозначні?$\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$$\mathsf{AEOL}$$\le 1$

До цього моменту це дублікат цього питання . Зараз я хочу офіційно заявити про проблему та уточнити, чому я там не задоволений відповіддю.

Проблема пошуку ( ): нам дано дві схеми розміру полінома і які отримують і повертають поліноміальний список інші елементи в . Ці схеми визначають спрямований графік де і . Проблема пошуку полягає в наступному: задані , і такі, що , знайдіть іншу вершину з такою ж властивістю.$\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$$\mathsf{AUV}$$S$$P$$x\in\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$$G=(V,E)$$V=\{0,1\}^n$$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$$S$$P$$z\in V$$indegree(z)\ne outdegree(z)$

Проблема пошуку : те саме, але і і повертають або порожній список, або один елемент.$\mathsf{AEOL}$$S$$P$

Поняття приводимості (виправлене згідно з пропозицією Ріккі): загальна проблема пошуку зводиться до загальної задачі пошуку за допомогою поліномних функцій і якщо є рішенням в задачі означає, що є рішення в завданні . B f g y f ( x ) B g ( x , y ) x $A$$B$$f$$g$$y$$f(x)$$B$$g(x,y)$$x$$A$

Формальне питання : чому зводиться до ? Або ми повинні використовувати інше поняття зворотності?А Е О $\mathsf{AUV}$$\mathsf{AEOL}$

Крістос Пападімітріу доводить аналогічну теорему про PPA (теорема 1, стор. 505), але аргумент, здається, не працює для PPAD . Причина полягає в тому, що вершина зі ступенем балансу буде перетворена в вершини зі ступенем балансу . Тоді алгоритм для може отримати одну з цих вершин і повернути іншу. Це не дасть нової вершини для .k ± 1 A E O L A U $\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

Все погіршується, оскільки в завжди є парне число неврівноважених вершин, але в їх може бути непарна кількість. Ось чому не можна побудувати біекцію між цими двома множинами, і не може бути завжди рівним . Якщо то ми отримаємо метод розв’язання в поліномічний час принаймні для деяких примірників. Якщо не залежить від і для то може бути повернуто як відповідь на . Це не дасть рішення дляА $\mathsf{AEOL}$ г ф - $\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$A U V g x g ( y 1 ) = g ( y 2 ) y 1 ≠ y 2 y 2 y 1 A U $g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$ .

Заключне запитання : чи можна якось подолати перелічені вище перешкоди? Чи можна використовувати можливу залежність $g$ від $x$ ?

Доведено, що проблеми є рівнозначними (і, таким чином, ППАД), див. Розділ 8 в Проблемі з волосистим кулькою - ППАД-Пол, Пол У. Голдберг та Олександрос Голлендер .

Це цікаве питання, і я можу дати лише часткову відповідь.

Неважко помітити, що конструкція на с. 505 статті Пападімітріу показує еквівалентність AUV з його особливим випадком

МНОГО ЕНЕРГІЇ ЛІНІЇ (МЕОЛ): Дано спрямований графік із ступінь та ступінь не більше 1 (представлений схемами, як вище), і непустий набір X джерел G , знайдіть мийку або джерело v ∉ X .$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

З одного боку, мені важко уявити трансформацію таких графіків, яка могла б зменшити більшу кількість джерел до одного.

Однак, з іншого боку, MEOL належить до всіх часто вивчених класів, що містять PPAD, крім, можливо, самого PPAD :

По-перше, очевидно,

MEOL знаходиться в PPADS .

Я накиду нижче аргумент, що

MEOL знаходиться в PPA

шляхом зменшення до стандартної проблеми PPA- завершення (ненаправлена ​​версія AEOL ). Припустимо, нам дано і X, як у визначенні MEOL.$G=(V,E)$$X$

Якщо Як це не дивно, ми можемо просто зробити графік непрямим, включити відповідність для всіх, крім однієї вершини з X (як в аргументі на стор. 505), і передати результат разом з рештою X від оракула PPA .$|X|$$X$$X$

Загалом, нехай , а 2 k - найбільша потужність 2, яка ділить s . Визначимо новий граф G ' = ( V ' , E ' ) , вершинами якого є 2 до -елементние підмножини V . Якщо A , B ∈ V ′ є такими множинами, ми ставимо край ( A , B ) в E ′, якщо ми можемо перерахувати множини як A $s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$ , B = { b 0 , … , b 2 k - 1 } таким чином, що ( a i , b i ) ∈ E для кожного i < 2 k .$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

Зрозуміло, що - це спрямований графік із ступенями та ступенями не більше 1 . ∈ V ' являє собою джерело (стік) тоді і тільки тоді воно містить джерело (раковина, соотв.) Від G . (Тобто, якщо вона містить і те, і інше, це ізольована вершина.) Отже, будь-яка така вершина призведе до вирішення екземпляра MEOL , якщо тільки A не є "відомим джерелом": тобто A ∩ X ≠ ∅ . Ми маємо намір зробити графік непрямим і маніпулювати ним, щоб кількість відомих джерел було зменшено до 1 , включивши відповідність на інші.$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

Отже, якщо - відоме джерело, нехай t = | А ∩ X | , що задовольняє 0 < t ≤ 2 k . Якщо t = 2 k = | А | , То просто ⊆ X . Кількість таких наборів становить ($A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$. Нагадаємо, що кратність простогоpв($\binom{s}{2^k}$$p$ дорівнює кількості переносів додаванняb+(a-b)=a,виконаного в базіp. За виборомkвипливає, що ($\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$непарне. Більше того, між[0,(а.)Існують поліноміально-часові біекції$\binom{s}{2^k}$іb-підмножини елементів[0,a). Використовуючи це, ми можемо визначити відповідність поліноміальний час на всіхкрім одного з2доелементних підмножинX. Ми включаємо його у графік, що зменшує кількість відомих джерел зt=2kдо1.$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

При формула підрахунку перенесення показує, що ($0<t<2^k$ рівний. Знову, ми можемо знайти явне відповідність нателементних підмножинX. Ми поширюємо його на відомі джерелаАз| А∩X| =t, застосувавши відповідність доA∩Xі залишившиA∖Xнерухомим.$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

Таким чином ми виробляємо непрямий графік з однією відомою вершиною листя. Ми просимо оракул PPA для іншого аркуша, і, будуючи конструкцію, ми можемо отримати з нього відповідь для екземпляра MEOL .

Як коротко зазначив Пападімітріу, ми можемо узагальнити PPA до класів PPA - для будь-якого простого p . Приклад повної проблеми PPA - $p$$p$$p$

AUV - : Даний спрямований графік G та вершина, балансова ступінь якої$p$$G$ , знайдіть іншу таку вершину.${}\not\equiv0\pmod p$

(Дивіться цю відповідь на еквівалентність AUV - з визначенням Пападімітріу щодо PPA - стор .)$p$$p$

PPA - - це просто PPA . Припускаються, що класи PPA - p є попарно незрівняними та непорівнянні з PPADS . Всі вони включають PPAD .$2$$p$

Не було нічого особливого щодо в аргументі, який я виклав вище, і його можна легко змінити, щоб отримати вихід$p=2$

MEOL знаходиться в PPA - для кожного найвищого p .$p$$p$