Чи вирішує, чи зміна одного запису зменшує постійність матриці в ієрархії поліномів?

Розглянемо наступну задачу: задана матриця $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , індекси $i,j\in\{1,\dots,n\}$ та ціле число $a$ . Замінити $M[i,j]$ по і викликати нову матрицю . Чи $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

Чи є ця проблема в ієрархії поліномів?

permanent

— Т….
джерело

Це можна вирішити двома дзвінками до оракула #P ... Якщо це було в PH, то це означало б, що PP також є в PH ... Однак, якщо PP є в PH, то PH руйнується. Тому я думаю, що це малоймовірно, що це є в PH.

— Tayfun заплатить

@TayfunPay Я не думаю, що цей аргумент є правильним. Проблему можна вирішити за допомогою 2 викликів на #P, але це не можна виключити так легко, що існує більш простий алгоритм, який може показувати, що це в PH. Вам доведеться показати, що #P для цього важко, наприклад, зменшивши Постійне до нього.

— Ян Йогансен

Якщо ви підключите визначення постійної та спростите отриману нерівність, ваша проблема зводиться до питання, чи є постійною даної матриці (n-1) -by- (n-1) строго позитивну.

— Гамов

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ повертає правду.

— Холф

@holf: Я думаю, ви повинні опублікувати це як відповідь. Він досить остаточно відповідає на питання, і тоді питання більше не буде виглядати як "без відповіді".

— Джошуа Грохов

Ваша проблема еквівалентна тестуванню, заданому , чи . $M$ $PER(M) > 0$

Доведення : Припустимо, що вам дано і ви хочете вирішити, чи . Будуємо так: Це легко помітити, що . Тепер визначимо як де замінимо запис на . З багатолінійності випливає, що . Таким чином, тоді і тільки тоді, коли $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Тепер припустимо, що вам задано , та і визначте як у вашому запитанні, тобто змінивши на . У нас є $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

де - матриця отримана з шляхом видалення рядка та стовпця . $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— холф
джерело

Хороша відповідь, але, мабуть, варто чітко вказати відповідь і на питання ОП.

— Стелла Бідерман