Теорема Рамзі для колекцій множин

Досліджуючи різні методи доведення нижчих меж розподілених алгоритмів, мені спало на думку, що наступний варіант теореми Рамзі може мати застосування - якщо це станеться правдою.

Параметри: , , задані, і тоді вибирається досить великим. Термінологія: підмножина - це підмножина розміром .K n N m $k$$K$$n$$N$$m$$m$

• Нехай .$A = \{1,2,...,N\}$
• Нехай складається з усіх -подмножествам .к $B$$k$$A$
• Нехай складається з усіх -подмножествах .K $C$$K$$B$
• Присвоїти забарвлює з .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

Тепер теорема Ремсі (версія гіперграфах) говорить , що незалежно від того , як ми вибираємо , є монохромне -подмножества з : все -подмножеств мають той же колір.n B ′ B K B $f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

Я хотів би піти на крок далі і знайти монохроматичний підмножину з : якщо складається з усіх -підгрупп , то всі -підгрупи мають однаковий колір.A ′ A B ′ ⊂ B k A ′ K B $n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

Це правда чи неправда? Чи має це ім’я? Чи знаєте ви якісь посилання?

Якщо воно з якихось тривіальних причин помилкове, чи є слабший варіант, що нагадує цю заяву?

Помічено, що питання нетривіальне лише тоді, коли k, K обидва більше, ніж 1; для випадку k = 1 або K = 1, це просто нормальна теорема Рамзі, яка справедлива для всіх n. Крім того, ми маємо мати справу лише з випадком, що > K, інакше теорема вірна, оскільки існує щонайбільше один select -підгрупа B ', побудований n-підмножиною A' А.${n \choose k}$${n \choose k}$

Спочатку доведемо, що теорема хибна для всіх k> 1, K> 1, і будь-який n задовольняє > K> .${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Для побудови контрприкладу для будь-яких великих N і A = [N] ми повинні побудувати функцію забарвлення f таку, що для всіх n-підмножини A 'of A, якщо B' складається з усіх k-підмножин A ' , деякі з K-підмножини B 'мають різні кольори. Тут ми маємо таке спостереження:

Спостереження 1. За умов, що k, K> 1 і > K> , будь-яке K-підмножина B є підмножиною щонайбільше одного B ', побудованим n-підмножина A 'A.${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Спостереження можна легко уявити, представляючи як гіперграфи. Нехай A - вузли графіка G, n-підмножина A 'of A - це набір вузлів повного n-підграфа у G. B' - це набір k-гіпередач у повному підграфі (2-гіперпередача - це нормальне ребро) і K-підмножини B '- це всі комбінації (всього є , де | B '| = ) K k-гіперпереходів . Спостереження зазначає: будь-який з K-кортезів гіперзйомок у G належить щонайменше до одного повного n-підграфа, що очевидно для > K> , оскільки будь-які два повні n-підграфів перетинаються не більше n-1 вузлів, максимум atop гіпередач.$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

Тоді ми можемо призначити різні кольори в межах K-підмножини C 'певного B', побудованого n-підмножиною A ', оскільки будь-який елемент в C' не буде зустрічатися як інший K-підмножина B '', побудований n-підмножиною A ''. Для будь-якого K-підмножини B, не побудованого жодною n-підмножиною A, ми присвоюємо йому випадковий колір. Тепер у нас є функція забарвлення f, з властивістю того, що жоден B ', побудований n-підмножиною A, не є однотонним, тобто деякі з K-підмножини B' мають різні кольори.

Далі ми покажемо, що теорема також хибна для всіх k> 1, K> 1, і будь-який n задовольняє > K. Тут єдина різниця n, яку можна вибрати настільки велику, що K> не відповідає дійсності. Але ще одним простим спостереженням:${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

Спостереження 2. Якщо деякий B ', побудований n-підмножиною A' A, є однотонним, то кожне B ', побудоване з n-підмножини A' 'A' для n '<n, також є однотонним.

Отже, ми можемо припустити, що теорема тримається на більшій n, застосуємо друге спостереження та укладаємо протиріччя за першим випадком, встановлюючи n 'satis > K> ; такий n 'повинен існувати тим, що > K і K> , n' повинен лежати між n і k + 1.$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$