Нормалізаційна лема Нітера для кінцевих полів

Моє запитання стосується теорем 4.1 та 4.2 в "Теорії геометричної складності V" .

Перша теорема стверджує, що існує алгоритм EXPSPACE для побудови hsop для$\Delta[\text{det},m]$(див. визначення у статті) на (насправді на довільному алгебраїчно закритому полі характеристичного нуля).$\mathbb{C}$

Другий забезпечує ймовірнісний багаторазовий алгоритм Монте-Карло для тієї ж проблеми.

Чи можна результати цих тез поширити на алгебраїчне закриття скінченного поля?

Як я розумію, це можливо, тому що проблема Нуллстелленца Гільберта належить і PSPACE і в цьому випадку. Теорема Генц і Шнорра також справедлива для полів довільної характеристики ...

Я вважаю, що відповідь - так. Єдина частина, яку я ретельно не перевірив, це:

• Аргумент в середині теореми 4.2, використовуючи складну топологію, і той факт, що закриття Заріського = комплексне замикання для заданих конструктивних множин $\mathbb{C}$. Цю частину аргументу слід замінити стандартною алгебраїчною технікою використання серії Лоран, хоча, як я вже сказав, я не ретельно перевіряв це.

У теоремах 4.1 та 4.2 здається, що єдиним іншим місцем, характерним для нуля, є реально використане - це $\mathsf{EXPH}$частина теореми 4.1 (якщо вважати GRH). Це використовує результат Койрана про те, що, припускаючи GRH, Гіллбертовий Nullstellensatz знаходиться в$\mathsf{PH}$. Результат Койрана в значній мірі покладається на характерний нуль (оскільки він розглядає рішення системи рівнянь за модулем безлічі різних простих$p$). Це не потрібно для отримання$\mathsf{EXPSPACE}$ частина теореми 4.1, однак, лише $\mathsf{EXPH}$ частина (припускаючи GRH).