Чому натурали замість цілих чисел?

Мене цікавить, чому природні числа так улюблені авторами книг з теорії мов програмування та теорії типів (наприклад, Дж. Мітчелл, Основи мов програмування та Б. Пірс, Типи та мови програмування). Опис просто набраного лямбда-числення і, зокрема, мови програмування PCF, зазвичай базуються на Наті та Булі. Для людей, які використовують та навчають індустріальних PL загального призначення, набагато природніше лікувати цілі числа, а не натуральні. Чи можете ви відзначити кілька вагомих причин, чому теоретик ФЛ віддає перевагу нату? Крім того, це трохи менш складно. Чи є якісь фундаментальні причини чи це просто честь традиції?

UPD Для всіх цих коментарів щодо "фундаментальності" природних матеріалів: Я цілком знаю про всі ці цікаві речі, але я вважаю за краще, щоб побачити приклад, коли ці властивості мають ці властивості в теорії типів теорії ФЛ. Наприклад, широко згадувана індукція. Коли у нас є будь-яка логіка (яка просто набрана LC), як і основна логіка першого порядку, ми дійсно використовуємо індукцію - але індукцію на дереві деривації (яку ми також маємо в лямбда).

В основному моє запитання стосується людей з галузі, які хочуть здобути якусь фундаментальну теорію мов програмування. Раніше вони мали цілі числа у своїх програмах і без конкретних аргументів та застосувань до теорії, що вивчається (в нашому випадку теорія типу), чому вивчати мови лише з натуральними, вони відчувають себе дуже розчарованими.

Коротка відповідь: натурали - це перші обмеження порядку. Отже, вони відіграють центральну роль в теорії аксіоматичних множин (наприклад, аксіома нескінченності є твердженням, що вони існують) і логіці, і теоретики Ф.Л. схильні ділитися фундаментальними захопленнями з логіками. Ми хочемо мати доступ до принципу спонукання, щоб довести повну правильність, припинення та подібні властивості, а натурали - це (ер) природний вибір доброго порядку.

Я не хочу мати на увазі, що двійкові цілі з кінцевою шириною є менш класними об'єктами. Вони є репрезентаціями p-адиків і дозволяють використовувати методи ряду потужностей в теорії чисел і комбінаторики. Це означає, що їх значення стає більш помітним в алгоритмі, ніж PL, оскільки саме тоді ми починаємо дбати більше про складність, а не про закінчення.

Натурали - це набагато більш фундаментальне поняття, ніж цілі числа.

Індукція відбувається над натуралами, а цілі числа можуть бути отримані від натуралів за допомогою простого додавання одинарного зворотного оператора.

Я фактично хотів би задати зворотне запитання: чому дизайнери ранньої мови програмування (і реєструють машину) проектувальники закріплювали цілі числа як основний тип даних, коли вони настільки вторинні і так легко виводяться з натуралів?

Я підозрюю, що це просто тому, що було кілька класних двійкових кодувань, які могли елегантно обробляти цілі числа. ;-)

Подумайте, як часто ви хочете ігнорувати негативний діапазон програмного цілого числа, і розгляньте імпульс, щоб мати непідписаний цілочисельний тип, щоб відновити загублений біт.

Існує обчислювана біекція між і . Тому достатньо міркувати про обчислюваність тощо, використовуючи лише натуральні числа, увесь час знаючи, що ваші результати узагальнюються до цілих чисел (і раціональних чисел, і всіх інших рекурсивно перелічених множин).$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

Міркувати лише про природне - це зручно, оскільки у вас є індукція, і - це добре обгрунтований набір із природним порядком . Останній є особливо важливим, оскільки його можна задіяти в документах про припинення. Хоча ви можете визначити обґрунтований порядок на , він менш зручний, оскільки він не відповідає звичайному порядку. ≤ $\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

Ще одна причина (пов’язана з уже даними, але ця відповідь додає нову інформацію) полягає в тому, що існує дуже проста побудова природних конструкцій, яка не містить фактичних факторів, яка поєднується з приємним принципом індукції [як уже було сказано] . Те, що не було розширено, - це наскільки складно придумати безкінцеву побудову цілих чисел.

Чим більше я програмую там, де мені хочеться підвищеної впевненості, тим більше мені потрібні натурали, і я вважаю, що у мене є лише цілі числа, заздалегідь визначені для мене справжнім болем.

Чи є якісь вагомі причини, чому теоретики PL віддають перевагу натуралам замість цілих чисел? Є деякі, але в підручнику з семантики мови програмування, я думаю, немає технічної причини, чому вони цього потребують. Я не можу думати про будь-яке місце, окрім систем залежного типу, де індукція даних є важливою в теорії ПЛ. Інші підручники Майка Гордона , Девіда Шмідта , Боба Теннента та Джона Рейнольдса не роблять цього. (І, мабуть, ці книги були б набагато придатнішими для навчання людей, які піклуються про загальновиробничі PL!)

Отже, там у вас є доказ того, що це не потрібно. Насправді я б стверджував, що хороша книга теорії ФЛ повинна бути параметричною у примітивних типах мови програмування, і вводити в оману пропонувати інше.

Природні природні чари та операції на них можуть бути закодовані в чистому обчисленні лямбда прямо, як так звані церковні цифри (і церковні боли, я думаю). Не ясно, як можна було б добре кодувати цілі числа, хоча це очевидно можна зробити.