Чи означає Закон виключеного середини аксіому K в теорії інтенсивного типу Мартина-Лефа?

Тож мені було цікаво, чи передбачає Закон виключеного середини (LEM) так звану аксіому K в теорії інтенсивного типу Мартіна-Лефа. Аксіома K стверджує, що Насправді я намагався довести більш загальне твердження, що

Π_{А : Т у p е} Π_{х : А} Π_{p : Id (х, х)}, Id (p, {refl}_{х})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

але після зменшення

до

шляхом індукції рівності я застряг у першій проблемі. Я також намагався діяти суперечливо, але, здається, це не працює.

Π_{А : Т у p е} Π_{х, у : А} Π_{p, q : Id (х, у)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Це взагалі доказово?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— Студентський тип
джерело

$K$

Ваш другий принцип відомий як UIP або унікальність доказів посвідчення особи. Він еквівалентний Аксіому K, див. Теорему 7.2.1 у книзі HoTT (просто прокрутіть вгору від 7.2.5 на одну сторінку). Жодне з них не може бути виведене в теорії інтенсивного типу Мартіна-Лефа за відомим результатом Томаса Стрейхера та Мартіна Гофмана .

— Андрій Бауер
джерело

Я скористаюся цією можливістю згадати про елегантний доказ Алана Шмітта, який чітко підкреслює ключовий інгредієнт: здатність за умови доказів рівності виробляти канонічне.

— gallais

Однак також варто відзначити, що, як також вказувалося в книзі HoTT, існує слабша форма "LEM", яка не означає K, і, мабуть, те, що математики насправді означають під LEM, а саме LEM, обмежений типом субсинглетону.

— Майк Шульман