Додайте відповідність до гамільтонівського шляху, щоб зменшити максимальну відстань між даними парами вершин

У чому полягає складність наступної проблеми?

Вхід :

$H$ агамільтонів шляху $K_n$
$R \subseteq [n]^2$ підмножина пар вершин
додатне ціле число $k$

Запит : чи існує відповідна $M$ така, що для кожного $(v,u) \in R$ , $d_G(v,u) \leq k$ ?
(де $G = ([n], M\cup H)$ )

Я мав дискусію з другом щодо цієї проблеми. Мій друг вважає, що проблема в поліномічному часі. Я думаю, що це NP-завершеність.

— пфім
джерело

Ви можете спростити це далі, принаймні, з точки зору презентації. Вам дано

, шлях з

вершин і збірник

пар цих вершин. Ви хочете збільшити шлях зі збігом, щоб відстань між будь-якою парою в

було не більше

k

$k$

n

$n$

R

$R$

R

$R$

k

$k$

— Сашо Ніколов

Я думаю, що ця формулювання може заплутатися після моєї останньої редакції, щоб усунути деяку неоднозначність.

— пфім

Моє тлумачення правильне, чи не так?

— Сашо Ніколов

Я зробив правки, щоб зробити заяву проблеми більш суворим. Я думаю, що це можна ще спростити, оскільки, як ви можете просто припустити, що H - гамільтонів шлях 1-2-3-4-5 ...- n без втрати загальності. Тож вам просто потрібно

n

$n$

— Каве

Відповіді:

Ця відповідь невірна .

Ваш друг правий. Ваша проблема (як інтерпретується Sasho) не накладалися яких - або обмежень по потужності узгоджувального . Таким чином, вибір , щоб бути відповідність між парами в . Тоді для будь-якого натурального цілого відстань між кожною парою в менше . $C$ $C$ $R$ $k$ $R$ $k$

Ваша проблема стає цікаво , якщо ви змушуєте шлях містять ребро з обох узгоджувальних і шляхи . $C$ $P$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Що ви маєте на увазі під "співставленням між парами в

R

$R$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek Це означає з'єднання вузлів кожної пари в

краєм. Отже,

- просто

з ребром, що з'єднує кожну пару. Це еквівалентно тому , поповнюючи шлях

з ідеальною марширують по парам

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Мохаммед Аль-Туркстані

Це, здається, не має для мене особливого сенсу. Що робити, якщо

не відповідає? Скажіть, якщо

містить пари

, як ви вибираєте

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek Так. Ваш пункт дійсний. Я відредагую свою відповідь.

— Мохаммед Аль-Туркстані

@pfim Чи можна сформувати найкоротший шлях, використовуючи лише ребра від

C

$C$

— Мохаммед Аль-Туркстані

ОНОВЛЕННЯ: відповідь нижче не вірна, тому що я помилково припустив, що гамільтонів шлях є в довільному графіку, а не в . Я залишаю це невизначеним, можливо, мені вдасться це виправити, або це дасть кілька підказок для іншої відповіді. $K_n$

Я думаю, що це NP-завершеність. Це дуже неформальна / швидка ідея скорочення від 3SAT

Для кожної змінної додаю "змінний гаджет" з: $x_i$

три вузли $X_i, +X_i, -X_i$
два змінних ребра і $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

Додайте вихідний вузол і підключіть його до всіх змінних $S$ $X_i$ .

До кожного пункту додайте вузол і підключіть його до відповідних змінних або що формує пропозицію. $C_j$ $C_j$ $+X_i$ $-X_i$

На наступному малюнку зображено: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Безліч (вузли , які повинні бути пов'язані) містить $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

Простий шлях повинен містити всі "СИНІ" краї, крім змінних ребер і (на малюнку над синіми краями позначаються ребра, які ми включаємо в ). $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ $P$

На цьому етапі початкова формула є придатною тоді і лише тоді, коли найкоротший шлях від до кожного вузла пункту не перевищує трьох. Дійсно, щоб досягти пункту від в три етапи, ми повинні пройти принаймні одну змінну : . Отже, ми повинні пройти один з двох ребер: або і включити його в $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ $X_i \to -X_i)$ $C$ (бо за будівництвом це не є частиною $P$ ). Але обидва не можуть бути включені, оскільки вони поділяють вершину.

Але ми не впевнені, що ми можемо побудувати простий шлях який включає всі сині краї, оскільки деякі вузли мають більше одного синього краю. $P$

Щоб виправити це, ми замінюємо кожен вузол декількома синіми країми падаючих, деревом, яке містить лише пари синіх країв, що потрапляють, які будуть включені в та ребра, які їх розділяють, і які повинні бути включені в для досягнення вузлів пункту: $P$ $C$

Початковий графік стає:

$K$ $C_j$ $S$ ).

$C$ всі необхідні (не сині) краї, необхідні для досягнення вузлів пункту, оскільки вони не мають вершини.

$P$

— Марціо Де Біасі
джерело

Спроба побудувати шлях, який містить усі сині краї, хвилює мене: деякі вершини мають більше двох синіх країв, що падають на них, тому не може бути жодного простого шляху, включаючи всі сині краї.

— Михайло Рудой

Добре, дякую ... Я повністю забув, що таке простий шлях :-( ... тепер це слід виправити.

— Marzio De Biasi

Ця публікація на math.SE говорить про те, що проблема може бути неповною. Це може бути нерозв'язною , але вирішуване в квазіполінома часу math.stackexchange.com/questions/2218929 / ...

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: чи бачите ви дефект у поточній версії відповіді?

— Marzio De Biasi

Ні, я не бачу явного вади.

— Мохаммед Аль-Туркстані