Чи є внутрішні скорочення вічними при нетиповому λ-обчисленні?

(Я вже запитував це в MathOverflow, але відповіді там не отримав.)

Фон

У нетипізованому обчисленні лямбда, термін може містити багато повторних виправлень і різних варіантів, щодо яких зменшити може призвести до різко різних результатів (наприклад, який у один крок ( -) зводиться або до або до себе). Різні (послідовності) вибору місця зменшення називаються стратегіями скорочення . Термін як кажуть, нормалізується, якщо існує стратегія скорочення, яка приносить $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ $\beta$ $y$ $t$ $t$ звичайною формою. Термін як кажуть, сильно нормалізується $t$ якщо кожна стратегія скорочення приносить до нормальної форми. (Я не переживаю за це, але гарантія злиття не може бути більше однієї можливості.) $t$

Кажуть, що стратегія скорочення нормалізується (і в деякому сенсі найкраще можлива), якщо всякий раз має нормальну форму, тоді ми закінчимося. Найбільш ліва та зовнішня стратегія - це нормалізація. $t$

На іншому кінці спектру, як стверджується, стратегія скорочення є вічною (і в деякому сенсі є найгіршою можливою), якщо всякий раз, коли існує нескінченна послідовність скорочення від терміна , то стратегія знаходить таку послідовність - іншими словами, ми, можливо, не зможемо нормалізуватися, тоді будемо. $t$

Мені відомі стратегії вічного скорочення і задані відповідно: $F_\infty$ $F_{bk}$ і

\begin{array}{ll} Ж_{б к} (С [(λ х . с) т]) = С [с [т / х]] & якщо т сильно нормалізується \\ Ж_{б к} (С [(λ х . с) т]) = С [(λ х . с) Ж_{б к} (т)] & інакше \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

\begin{array}{ll} Ж_{\infty} (С [(λ х . с) т]) = С [с [т / х]] & якщо х відбувається в с або якщо т знаходиться в нормальній формі \\ Ж_{\infty} (С [(λ х . с) т]) = С [(λ х . с) Ж_{\infty} (т)] & інакше \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$ (В обох випадках, зазначена

-redex є крайній лівій один в члені

- і на нормальних форми , стратегії скорочення обов'язково тотожні.) Стратегія

навіть максимальна - якщо це нормальний термін, то для цього використовується найдовша можлива послідовність скорочення. (Див., Наприклад, 13.4 у книзі Барендрегта.)

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

Розглянемо зараз найменшу ліву стратегію скорочення. Неофіційно це зменшить лише -redex, який не містить інших повторних викликів. Більш формально він визначається $\beta$

\begin{array}{ll} L (т) = т & якщо т на нормальній формі \\ L (λ х . с) = λ х . L (с) & для с не в нормальній формі \\ L (с т) = L (с) т & для с не в нормальній формі \\ L (с т) = с L (т) & якщо с, але не т знаходиться в нормальній формі \\ L ((λ х . с) т) = с [т / х] & якщо с, т як у звичайній формі \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

Природна інтуїція скорочення, яка знаходиться в лівій частині, полягає в тому, що вона буде виконувати всю роботу - жоден перенастроювання не може бути втрачено, і тому він повинен бути вічним. Оскільки відповідна стратегія є вічною для (нетипізованої) комбінаторної логіки (найпотаємніші скорочення є вічними для всіх ортогональних ТРВ), це не відчуває себе повністю неперевершеним синьооким оптимізмом ...

$\lambda$ -рахунку?

Якщо відповідь виявиться «ні», вказівник на контрприклад також був би дуже цікавим.

— корова
джерело

Перехрестя від МО.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

... як згадується в першому рядку.

— корова

@kow: Так, ти маєш рацію, і немає нічого поганого в перехресному опублікуванні :) Посилання полягає лише в користі для того, щоб слідкувати за коментарями та відповідями в МО, щоб уникнути подвійної відповіді. Дивіться дискусію на мета .

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

@kow: Коли ви перехрестете питання наступного разу, будь ласка, не забудьте додати посилання, бажано в обох напрямках.

— Цуйосі Іто

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$ навіть якщо воно має нескінченне скорочення.

Перший крок зменшення: $L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$ .

Перший крок зменшення с $F_\infty$ є $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$ .

— Раду ГРИГоре
джерело