Нижня межа кількості «коротких» шляхів у вкоріненому дереві з розміром полінома

Нехай - корінне двійкове дерево. Кожен шлях від кореня Т до листя має довжину n . Кожен вузол T завжди має лівий і правий дочірній вузол, але можливо, що вони однакові (Отже, завжди можливі 2 n шляхи). Розмір T обмежений O ( p o l y ( n ) ) . Вузол з різними дочірніми вузлами називається вузлом розгалуження .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

Ми говоримо, що два контури відрізняються, якщо є один спільний розгалужувальний вузол, і один шлях іде до лівого дочірнього вузла, а інший шлях - до правого дочірнього вузла. Зрозуміло, що існує принаймні один шлях у з вузлами розгалуження O ( log n ) . В іншому випадку було б занадто багато вузлів в T .$T$$O(\log n)$$T$

Чи є краща нижня межа кількості шляхів з вузлами розгалуження якщо я знаю, що на дереві є ω ( log n ) розгалужувальні вузли?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

Нижня межа - це шляхи з O ( log n ) розгалужуваними вузлами, якщо у вас є принаймні Ω ( log n ) розгалуження у дереві.$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

Цього можна досягти: використовуйте дерево, яке має один довгий шлях (довжина ), усі вузли якого є вузлами розгалуження, без інших вузлів розгалуження на дереві.$n$

Ось ескіз нижньої межі.

По-перше, компактизуйте дерево, уклавши будь-який внутрішній вузол, який не є вузлом розгалуження. Якщо початковий розмір дерева був , нове дерево все одно повинно бути < n c , оскільки ви лише зменшили кількість вузлів. Тепер глибина аркуша - це кількість розгалужувальних вузлів на початковому шляху до цього листя, і ми маємо повне двійкове дерево (кожен вузол має ступінь 2 або 0).$< n^c$$< n^c$

Якщо немає листя глибини , то кількість шляхів на один більший, ніж кількість вузлів розгалуження, що Ω ( log n ) , тож можна припустити, що принаймні один лист має глибину Ω ( log п ) .$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

Далі, пригадайте нерівність Крафта. Якщо глибина листка в цілому двійкове дерево дорівнює , то Σ v l e a f 2 - d ( v ) = 1 .$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

Тепер у нас менше, ніж листя. Ми хочемо показати, що їх у нас дуже багато на глибині O ( log n ) . Припустимо, ми виключимо з розгляду ті, що мають глибину принаймні log 2 ( n c + 1 ) = ( c + 1 ) log 2 n . Це знімає максимум 1 / n ваги з суми нерівності Крафта, тому для тих листів v на глибині не більше d ( v ) ≤ ( c $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$ , маємо ∑ v l o w d e p t h l e a f 2 - d ( v ) > 1 - $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ . У нас також є∑vlowdepthleaf2-d(v)<1(оскільки принаймні один лист має глибину, занадто велику, щоб включати до цієї суми).$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

Досить легко показати, що отримати суму чисел строго між 1 і 1 - $2^{-k}$$1$ , нам потрібно щонайменшеlog2nз них. Це показує, що єΩ(logn)шляхи звузлами розгалуженняO(logn).$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$