Розпізнавання автоматів

Нехай - кінцевий алфавіт. Код над є підмножиною таке , що кожне слово в можна однозначно представити у вигляді конкатенації слів в . Код є кінцевим, якщоє кінцевим. Що відомо про (мінімальні) автомати, що розпізнають для кінцевого коду ? Чи є характеристика таких автоматів (з точки зору структури автомата, не знаючи )? Чи можливо, маючи такий автомат, витягнути код за багаточлен? $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$

Мене також цікавлять ці питання, коли ми опускаємо той факт, що - код, тобто припускаємо лише, що - це кінцевий набір слів. $X$ $X$

automata-theory

— Андрій Рижиков
джерело

Що ви хочете знати про такі автомати? Здається, що легко побудувати DFA для , розмір якого можна легко охарактеризувати (це, в основному, кількість унікальних префіксів рядків у , і, таким чином, становить максимум суму довжин слів у ; зокрема , це поліноміальний розмір). Враховуючи таку DFA, також здається легко витягнути кодові слова в , перерахувавши всі цикли від стартового вузла назад до себе. Що конкретно ваші запитання? Які думки ви вже зробили? Дивіться розділ "Питання повинні базуватися на ..." нашого довідкового центру .

X^{*}

$X^*$

X

$X$

X

$X$

X

$X$

— DW

@DW, очевидно, не всі автомати мають цю властивість. Тому я запитую, чи існує (сподіваємось, поліноміальна) характеристика таких автоматів. Крім того, я не бачу, як витягти , перерахувавши всі цикли від початкового стану до самого себе. Насправді може існувати нескінченна кількість циклів, оскільки ми не можемо обмежитися лише циклами без самоперетину. Чи можете ви бути більш конкретними?

X

$X$

— Андрій Рижиков

Якщо я правильно розумію, ви запитали про мінімальні автомати. Я думаю, що всі мінімальні показники DFA будуть ізоморфними до описаного мною. Якщо ви запитуєте про всі автомати, не обов'язково мінімальні, пропоную вам відредагувати це питання для уточнення. Я не розумію, чому ви не можете обмежитися лише циклами без перехрестя; властивість без префіксу означає, що це безпечно зробити, і якщо кінцевий, таких циклів буде лише кінцево багато. Я пропоную вам подумати над проблемою на деякий час, а потім відредагуйте це питання, щоб поділитися всіма результатами, до яких ви могли дійти.

X

$X$

— DW

Хіба це питання не збігається з першою версією cstheory.stackexchange.com/questions/4284/… , де і можуть відрізнятися, за винятком того, що ви також запитуєте час роботи?

K

$K$

K^{'}

$K'$

— domotorp

@domotorp Ви маєте рацію, перевіряючи, чи є набір слів кодом, може бути виконано в поліноміальний час, і це досить відомий факт (див. напр. www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/LivreCodes/ Codes.html , підрозділ 0.4). Я хочу лише мати мінімальний автомат, який-небудь розпізнає, перевірити, чи це щось зірка коду.

— Андрій Рижиков

Оскільки на це запитання довго не було відповіді, дозвольте запропонувати часткову відповідь на першу частину питання:

Що відомо про (мінімальні) розпізнавання автоматів $X^∗$ для скінченного коду $X$ ?

Дано скінченний набір слів $X$ , квітковий автомат с $X^*$ є кінцевим недетермінованим автоматом $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ , де $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ , $I = F = \{(1,1)\}$ , з чотирма типами переходів:

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ Неважко помітити, що цей автомат розпізнає

X^{*}

$X^*$ . Наприклад, якщо

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$ і

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$ , квітковий автомат с

X^{*}

$X^*$ наступне

$\qquad\qquad\qquad$

Нагадаємо, що автомат однозначний, якщо, враховуючи два стани $p$ і $q$ і слово $w$ , є щонайбільше один шлях від $p$ до $q$ з етикеткою $w$ . Тоді має місце такий результат:

Теорема [1, Thm 4.2.2]. Набір $X$ - код, якщо квітковий автомат $X^*$ є однозначним.

Квітковий автомат також має алгебраїчну властивість, що робить його відносно близьким до мінімального автомата. Ця властивість стосується будь-якого кінцевого набору $X$ , але простіше заявити, позбувшись порожнього слова, тобто розглядаючи мову як підмножину $A^+$ замість $A^*$ .

Нагадаємо, що кінцева напівгрупа $R$ є локально тривіальним , якщо для кожного ідемпотентів $e \in R$ , $eRe = \{e\}$ . Морфізм $\pi:R \to S$ є локально тривіальним , якщо для кожного ідемпотентів $e$ в $S$ , напівгрупа $\pi^{-1}(e)$ локально тривіальний.

Перехідна напівгрупа $T$ квіткового автомата с $X^+$ називається квітка півгрупа з $X^+$ . З тих пір $T$ визнає $L^+$ , є сюрєктивний морфізм $\pi$ з $T$ на синтаксичну напівгрупу $S$ з $X^+$ .

Теорема . Морфізм $\pi:T \to S$ локально тривіальний.

Важливим наслідком цього результату є те, що квіткова напівгрупа та синтаксична напівгрупа мають однакову кількість регулярних $\mathcal{J}$ -класи.

Список літератури

[ 1 ] Дж. Берстель, Д. Перрін, К. Рейтенауер, Коди та автомати . Енциклопедія математики та її застосувань, 129. Кембриджський університетський прес, Кембридж, 2010. xiv + 619 с. ISBN: 978-0-521-88831-8

— Ж.-Є. Шпилька
джерело