Варіант проблеми кореспонденції

Це, мабуть, досить просто, але врахуйте стандартну проблему після кореспонденції:

З огляду на , і & beta ; 1 , ... , & beta ; N , знайти послідовність індексів я 1 , ... , я K таким чином, що & alpha ; я 1 ⋯ & alpha ; я До = & beta ; я 1 ⋯ & beta ; я До . Це, звичайно, не можна визначити.$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K}$

Зараз я називаю це «варіантом», але насправді це не так - це, по суті, викидає «листування». У будь-якому випадку, розгляньте наступний варіант:

Враховуючи і β 1 , … , β N , знайдіть дві послідовності індексів i 1 , … , i K , j 1 , … , j K такі, що α i 1 ⋯ α i K = β j 1 ⋯ & beta ; J K . Що можна сказати про цей варіант? Якщо це банально, мої вибачення!$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K, j_1, \ldots, j_{K}$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1}\cdots \beta_{j_{K}}$

Ця нова версія - де - визначальна.$K = K'$

Покажемо, що мова - це CFL. Тоді рішучість випливає з розрізненості порожнечі КФЛ.$L := \bigcup_{k \geq 1} (A^k \ \cap \ B^k)$

Ми будемо розробляти КПК приймати . На вході х , цей КПК буде намагатися побудувати два факторизации х , один з використанням слова A , і інші , використовуючи слова B . Він використовуватиме лічильник на стеку, щоб забезпечити однакові довжини цих двох факторів. Концептуально я буду називати A -факторизацію x так далеко, як сидіння на вершині x та B -факторизацію як сидяче внизу x . Тоді стек буде містити n лічильників, якщо абсолютне значення різниці кількості слів, зіставлених у верхній частині, мінус кількість слів у нижній частині, становить$L$$x$$x$$A$$B$$A$$x$$x$$B$$x$$n$ . Нам потрібен інший стан PDA, щоб записати, який відповідний знак відповідає n (який говорить нам, чи A -факторизація довша, ніж B -факторизація, або навпаки).$n$$n$$A$$B$

Як ми скануємо букви , ми недетермінірованного вгадати слова т в А і слово ˙U з B , в якій починається цей лист. Як тільки ми здогадаємось, ми прагнемо зіставити решту t і u проти х ; якщо в будь-який момент наш матч не вдасться, ми зупиняємося на цьому недетермінованому виборі. Таким чином, ми також підтримуємо в стані нашого КПК суфікси t і u, які залишаються відповідні.$x$$t$$A$$u$$B$$t$$u$$x$$t$$u$

$t$$u$

Ми приймаємо, якщо суфікси, що залишилися для зіставлення, порожні вгорі та внизу, а стек не містить лічильників.

$G$

$k$$2^{O(l^2)}$$l$$A$$B$

$A$$B$$A$$B$

$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$K = K'$

$A$$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K}$$B$$\beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$A \cap B$$A,B$