Які ігри 2P1R потенційно різкі?

Двоповерхові однокругові ігри (2P1R) є важливим інструментом для твердості наближення. Зокрема, паралельне повторення одновіршових ігор на два типи дає змогу збільшити розмір прогалини у варіанті рішення проблеми апроксимації. Дивіться огляд опитування Ran Raz на CCC 2010 для огляду цього питання.

Паралельне повторення гри має дивовижну властивість, що, хоча рандомізований верифікатор працює незалежно, два гравці можуть грати в ігри незалежним чином, щоб досягти кращого успіху, ніж грати кожну гру незалежно. Величина успіху обмежена вище теоремою про паралельне повторення Raz:

Теорема : Існує універсальна константа так що для кожної гри 2P1R зі значенням та розміром відповіді значення паралельної гри повторення становить щонайбільше .$c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

Ось контур роботи щодо виявлення цієї константи :$c$

• Оригінальний документ Різа доводить .$c \leq 32$
• Голенштайн покращив це до .$c \leq 3$
• Рао показав, що вистачає (і залежність від знімається) для особливого випадку проекційних ігор.$c' \leq 2$$s$
• Raz розробив стратегію для гри в непарний цикл, яка показала, що результат Рао є гострим для проекційних ігор.

За цим складом роботи ми знаємо . Мої два питання такі:$2 \leq c\leq 3$

Питання 1: Чи мають експерти в цій галузі консенсус щодо точного значення ?$c$

Якщо вважається, що , чи існують конкретні ігри, які не є проективними, але також конкретно порушують додаткові властивості проекційних ігор, яких вимагає доказ Рао.$c > 2$

Запитання 2: Якщо , то які цікаві ігри порушують стратегію Рао і мають потенціал бути чіткими прикладами?$c > 2$

З мого власного читання, здається, найважливішою властивістю проекційних ігор, якими користується Рао, є те, що хороша стратегія паралельного повторення не використовує багато можливих відповідей на певні питання. Це якимось чином пов'язане з локальністю проекційних ігор.

Я схильний вважати, що c = 3 - це правильна відповідь для загального випадку, і що слід навести приклад. Мені доведеться подумати більше про це, щоб точно знати. Це гарне запитання, і я не знаю існуючої роботи з цього приводу.

Нещодавно дослідження були зосереджені на тому, які типи ігор мають (найкраще можливе) c = 1, в основному через можливі додатки для розширення унікальних ігор.

• Барак та ін узагальнили контрприклад Raz на всі унікальні ігри з прогалинами SDP.
• Раз і Розен показали, що для розширення проекційних ігор c = 1. Також є попередні результати супернабору цих авторів для безкоштовних ігор.

Для того, щоб все прокручувалося, я маю потенційну гру і хотів би отримати зворотній зв'язок.

Нехай - ціле число, а - ціле число, щонайменше, з . Гра з потужністю в циклі - це гра 2P1R, де дослідники намагаються переконати перевіряючий, що графік є кольоровим. Тут, називається граф з вершинами , заданих цілих чисел по модулю з ребрами , якщо mod відстань не більше . Якщо є -кольорування C_m , його потрібно задати , вибравши впорядкування та забарвлення чисел$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$$\{0,\dots,m-1\}$ у цьому порядку, оскільки кожен набір послідовних цілих цілих чисел у утворюють кліку. Оскільки не є кратним , буде певний момент, коли це забарвлення не вдасться.$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Перевіряючий запитує або одну вершину у обох гравців, щоб перевірити, чи відповідають кольори, або запитує край, щоб переконатися, що кольори відрізняються.

Я вважаю, що це хороший приклад з двох причин:

1. Це досить схоже на гру непарного циклу, що стратегія може бути побудована аналогічно нижній межі Раз. Важливою частиною цієї стратегії є випадковий вибір кольорів у повторах, використовуючи спільну випадковість.

2. Шляхом рандомізації перестановок, що використовуються у довільно генерованих забарвленнях, кількість відповідей, наданих у кожній вершині, охоплює рівномірний набір відповідей, атакуючи стратегію Рао.

Чи вже ця гра була розглянута / вирішена?