Будь-яке обчислюване трансцендентальне число, яке можна обчислити за P час, але ні

Чи є якесь відоме обчислюване трансцендентальне число таке, що його $n$-я цифра обчислюється в поліномічний час, але не в $O(n)$?

Ось побудова такої кількості. Можна сперечатися, чи означає це таке число "відомим".

Візьміть будь-яку функцію $f$ з $\mathbb{N}$ до $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ де $n$'-я цифра не обчислюється в $O(n)$час. Така функція існує, наприклад, за допомогою звичайної техніки діагоналізації. Інтерпретувати$f(n)$ як $n$'десята цифра деякого дійсного числа $\alpha$. Тепер для кожного$n$ форми $2^{2^k}$, $k \geq 1$, змініть цифри $\alpha$ на посадах $n, n+1, \ldots, 3n$ до $0$'s. Отримане число$\beta$ очевидно зберігає майно, яке $n$'-я цифра не обчислюється в $O(n)$ час, але має нескінченно багато дуже хороших наближень раціоналів, скажімо на замовлення $O(q^{-3})$, форми $p/q$. Потім за теоремою Рота$\beta$не може бути алгебраїчним. (Це нераціонально, тому що воно має довільно довгі блоки$0$почнемо неруковими знаками з обох сторін.)

Більш загально, для будь-якої постійної $k\ge1$, є трансцендентальні числа, які можна обчислити в поліноміальний час, але не в часі $O(n^k)$.

По-перше, за теоремою часової ієрархії існує мова $L_0\in\mathrm E$ не обчислюється в часі $O(2^{kn})$. Ми можемо припустити$L\subseteq\{0,1\}^*$, і ми можемо також припустити, що всі рядки $w\in L$ мають довжину, що ділиться на $3$.

По-друге, нехай $L_1$ бути одинарною версією $L_0$. Для визначеності, для будь-якого$w\in\{0,1\}^*$, дозволяє $N(w)$ позначають ціле число, двійкове представлення якого $1w$, і поставити $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$. Тоді$L_1\in\mathrm P$, але $L_1$ не обчислюється в часі $O(n^k)$. Більше того,$L_1$ має таку властивість: для будь-якого $m$, $L_1$ не містить жодної $a^n$ такий як $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$.

По-третє, нехай

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (Я припускаю, що тут йдеться про обчислення чисел у двійкових. Якщо ні, то $2$ вище можна замінити будь-якою бажаною базою, це не має значення.)

Тоді $\alpha$ обчислюється в многочлен, оскільки ми можемо обчислити його першим $n$ біти, перевіривши, чи $a,a^2,\dots,a^n$ знаходяться в $L_1$. З цієї ж причини це не обчислюється в часі$O(n^k)$, як $n$-біт визначає, чи $a^n\in L_1$.

Для будь-якого $m$, дозволяє

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ і $q=2^{2^{3m+1}}$. Тоді $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ Таким чином, $\alpha$ має принаймні міру ірраціональності $4$, отже, це трансцендентально теоремою Рота .