Ієрархії часу в DSPACE (O (s (n)))

Теорема про ієрархію часу стверджує, що машини для тюрінгу можуть вирішити більше проблем, якщо у них буде (достатньо) більше часу. Чи це утримується якимось чином, якщо простір обмежено асимптотично? Яким чином $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ стосується $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ якщо $\frac{f}{g}$ росте досить швидко?

Мене особливо цікавить випадок, коли $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ і $f(n) = 2^n$ .

Зокрема, я вважав наступний мову: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Однак $L_k$ можна визначити за $n^3$ кроків, використовуючи $(k+1)n \in O(n)$ простір.

Не обмежуючи $M$ чотирма символами стрічки і таким чином дозволяючи стискати $O(n)$ комірок у $n$ комірок, ми отримуємо простір при моделюванні $M$ із занадто великою кількістю символів стрічки. У цьому випадку мова вже не в $\text{DSPACE}(O(n))$ . Те ж саме відбувається при встановленні $k = h(|w|)$ на деякий $h$ який можна обчислити досить швидко.

Це питання, в основному, перефразоване тут моє запитання .

Редагувати резюме: Змінено $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ на $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$ , однак, я думаю, що перетин також варто задуматися.

— Геннінг
джерело

Дивовижне питання !! Також досить цікаво подивитися на DTISP (g (n), s (n)) проти DTISP (f (n), s (n)), якщо

росте досить швидко. DTISP (g (n), s (n)) являє собою мови, які можна вирішити за допомогою одного алгоритму, який працює щонайбільше g (n) часу, використовуючи s (n) простір, а DTIME (g (n))

DSPACE (s (n)) представляє мови з двома алгоритмами, де один алгоритм працює в g (n) час, а інший працює в s (n) просторі.

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— Michael Wehar

На жаль, я фактично написав D-SPACE (O (s (n))) - TIME (g (n)) спочатку, але мені не сподобався вигляд того, що з нього зробив MathJax, тому я швидко змінив його до DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)), не замислюючись над цим. Моє початкове запитання - про те, що я написав спочатку, але перетин DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) також дуже цікавий - я радий, що помилився. Чітко DTISP (g (n), s (n)) ⊆ DTIME (g (n)) ∩ DSPACE (s (n)). Це правильне включення? Згідно з Вікіпедією, її правильність невідома для DTISP (P, PolyL) ⊆ DTIME (P) ∩ DSPACE (PolyL): wikiwand.com/en/SC_(complexity)

— Хеннінг

Класно !! Дякую за роз'яснення. Мені справді цікаві подібні проблеми. :)

— Майкл Вехар

. Отже, ваш другий випадок - тривіальний.

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$

— rus9384

Варто зазначити, що ієрархія часу для фіксованого обсягу простору може бути отримана для машин Тьюрінга з

стрічками для фіксованого

, використовуючи аргументи, подібні до Hopcroft-Paul-Valiant та жорсткі ієрархії часу для

стрічкових машин. Див. Наприклад WJ Paul. `Ієрархії часу 'в STOC'77

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Сем Макгуайр

$\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

$ε>0$ $O(2^{n-ε})$ $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

Зокрема (в припущенні), існування задовольняє призначення для схем з входи і розмір служить як контрприклад рівності класів. $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ $(\log f)^{O(1)}$

Примітки:

CIRCUIT-SAT є щонайменше настільки ж важким, як -SAT (який використовується в гіпотезі сильного експоненційного часу). $k$
Згідно з умовами, в CIRCUIT-SAT - кількість вхідних проводів; розмір схеми . $n$ $n^{O(1)}$
Якщо припущення використовувало CIRCUIT-SAT для квазілінійних розмірів ланцюга, то пов'язане на можна розслабити до . Крім того, більш слабкі / сильні припущення щодо твердості CIRCUIT-SAT дають слабкіші / сильніші ієрархії (що ми можемо довести зараз). $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
io означає нескінченно часто і може бути відхилений для які є в певному сенсі безперервними (включаючи ). $f$ $f(n)=n^a$
Здається, ієрархія DTISP досить гостра, щоб відрізнити від (і, можливо, ) (коли не надто великий відносно дозволеного простору). $O(f)$ $o(f/\log f)$ $o(f)$ $f$
Щоб відрізнити від , нам потрібне лише слабше припущення P ≠ PSPACE. $n^a$ $2^n$

— Дмитро Тарановський
джерело