Чи є доказом Норберта Блума 2017 рік, що правильний?

Нещодавно Норберт Блюм опублікував доказ на 38 сторінках, що . Це правильно?$P \ne NP$

Також на тему: де ще (в Інтернеті) обговорюється її правильність?

Примітка: фокус тексту цього питання з часом змінювався. Деталі див. У коментарях до питань.

Як зазначалося тут раніше, приклад Тардоса явно спростовує доказ; він дає монотонну функцію, яка погоджується з CLIQUE на T0 і T1, але яка лежить у P. Це було б неможливо, якби доказ був правильним, оскільки доказ стосується і цього випадку. Однак чи можемо ми точно визначити помилку? Ось з публікації в блозі Ліптона, що, здається, є місцем, де докази не вдається:

Одинична помилка є одним найтоншим моментом у доведенні теореми 6, а саме на кроці 1, на сторінці 31 (а також 33, де обговорюється подвійний випадок) - начебто очевидне твердження, що містить усі відповідні пропозиції, що містяться в тощо, здається неправильним. C N F ′ ( г $C'_g$$CNF'(g)$

Щоб пояснити це більш детально, нам потрібно перейти до методу доказування та наближення Берга та Ульфберга, який повторно підтверджує оригінальний доказ Різборова експоненціальної монотонної складності для CLIQUE з точки зору вимикачів DNF / CNF. Ось як я це бачу:

Для кожного вузла / затвор з логічної схеми (що містять двійкові і / або тільки ворота), кон'юнктивна нормальна форма , в диз'юнктивний нормальну формі , і аппроксіматори і ARE додається. і це просто відповідна диз'юнктивна і кон'юнктивна нормальна форма вихідного сигналу. і це також диз'юнктивні та кон'юнктивні форми, але деякі інші функції, «наближаючі» до виходу воріт. Однак, вони повинні мати обмежену кількість змінних у кожному дляβ C N F ( g ) D N F ( g ) C k g D r g C N F D N F D r g C k g D r g C k $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(менше постійної r) і в кожному пункті для (менше постійної k).$C^k_g$

З цим наближенням вводиться поняття "помилка". Як обчислюється ця помилка? Нас цікавить лише деякий набір T0 входів, на яких наша загальна функція приймає значення 0, і T1 входів, на яких наша загальна функція приймає значення 1 ("обіцянка"). Тепер на кожному воріті ми дивимось лише на ті входи з T0 і T1, які правильно обчислюються (і і , які представляють одну і ту ж функцію - вихід затвору в ) на виході воріт , і подивіться, скільки помилок / помилок є для іC N F ( g ) g β C k g D r g C k g D r g C k g C k g D r $DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$, порівняно з цим. Якщо затвор є сполучником, то вихідний затвор може обчислити більше входів з T0 правильно (але правильно обчислені входи з T1, можливо, зменшені). Для , який визначається як простий сполучник, на всіх цих входах немає нових помилок. Тепер визначається як перемикач CNF / DNF , тому на T0 може виникнути ряд нових помилок, що надходять від цього перемикача. На T1 також немає нових помилок на - кожна помилка повинна бути присутнім на будь-якому вході затвора, і аналогічно на , комутатор не вводить нових помилок на T1. Аналіз для АБО ворота є подвійним.$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

Таким чином, кількість помилок для кінцевих наближувачів обмежена кількістю воріт у , кратній максимально можливій кількості помилок, введених вимикачем CNF / DNF (для T0) або перемикачем DNF / CNF (для T1). Але загальна кількість помилок повинна бути "великою" принаймні в одному випадку (T0 або T1), оскільки це властивість позитивних кон'юнктивних нормальних форм із застереженнями, обмеженими , що було ключовим розумінням оригінального доказу Разборова (лема 5 у статті Блума).$\beta$$k$

Отже, що зробив Blum для того, щоб боротися з негативами (які підштовхуються до рівня входів, тож схема все ще містить лише двійкові АБО / ІЛ-шлюзи)?$\beta$

Його ідея полягає у підготовці перемикачів CNF / DNF та DNF / CNF обмежувально, лише тоді, коли всі змінні позитивні. Тоді перемикачі спрацювали б точно, як у випадку з Бергом та Ульфбергом, вводячи однакову кількість помилок. Виявляється, це єдиний випадок, який потрібно розглянути.

Отже, він слідує за Бергом та Ульфбергом, маючи кілька відмінностей. Замість того, щоб приєднати , , і до кожного затвора ланцюга , він приєднує свої модифікації, , , і , тобто "зменшені" диз'юнктивні та кон'юнктивні нормальні форми, які він визначив для відмінностей від іD N F ( g ) C k g D r g g β C N F ′ ( g ) D N F ′ ( g ) C ′ k g D ′ r g C N F ( g ) D N F ( г $CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$за "правилом поглинання", видаляючи заперечні змінні зі всіх змішаних мономеїв / пропозицій (він також використовує для цієї операції позначається R, повністю видаляючи деякі мономії / пропозиції; як ми обговорювали раніше, його дещо неформальне визначення R насправді не є проблемою , R може бути зроблено точним, тому він застосовується на кожному воріті, але те, що видаляється, залежить не тільки від двох попередніх входів, але і від усієї схеми, що веде до цього затвору), та їхніх наближених і D ' r g , що він також представив.${C'}^r_g$${D'}^r_g$

У теоремі 5 він робить висновок, що для монотонної функції зменшені і D N F ′ дійсно обчислюють 1 і 0 на множинах T1 і T0, у кореневому вузлі g 0 (вихід якого є результатом всієї функції в β ). Ця теорема, я вважаю, правильна.$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

Тепер приходить підрахунок помилок. Я вважаю, що помилки на кожному вузлі мають бути обчислені шляхом порівняння зменшених та D N F ′ ( g ) (які зараз можливо дві різні функції), з C ′ r g та D ′ k g як він їх визначив. Визначення апроксиматорів визначення папуги C N F ′ і D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$(Крок 1) при змішуванні змінних із запереченими, але коли він має справу з позитивними змінними, він використовує перемикач, як у випадку Берга та Ульфберга (крок 2). І дійсно, на кроці 2 він введе таку ж кількість можливих помилок, як і раніше (це той самий перемикач, і всі задіяні змінні позитивні).

Але крок 1. На етапі 1. Я думаю, що Блюм плутає , γ 2 , які дійсно виходять, як він їх визначив, з попередніх наближених (для воріт h 1 , h 2 ), з позитивними частинами C N F ′ β ( h 1 ) і C N F ′ β ( h 2 ) . Існує різниця, а значить, вислів " C ′ g містить ще всі пропозиції, що містяться в C N F ′ $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$ перед наближенням затвору g, в якому використовується пункт у γ ′ 1 або γ ′ 2 ", здається, взагалі неправильно.$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

Мені знайомий Олександр Разборов, попередня робота якого є надзвичайно важливою і слугує фундаментом для доказу Блума. Мені пощастило сьогодні зустрітися з ним і не витрачав часу на запитання його думки з усього цього питання, на те, чи бачив він доказ чи ні, і які його думки щодо нього, якщо він це зробив.

На мій подив, він відповів, що він справді знає папери Блума, але спочатку його не цікаво читати. Але оскільки йому було надано більше слави, він отримав шанс прочитати його і негайно виявив недолік: а саме те, що міркування Берга та Ульфберга прекрасно відповідають функції Тардоса, і оскільки це так, доказ Блума обов'язково неправильно, оскільки це суперечить ядру теореми 6 у його роботі.

Це розміщується як відповідь громади, оскільки (а) це не мої власні слова, а цитування Лука Тревісана на платформі соціальних медіа чи інших людей, які не мають облікового запису CSTheory.SE; та (b) будь-хто повинен сміливо оновлювати це оновленою відповідною інформацією.

Цитуючи Лука Тревісана з публічної публікації у Facebook (14.08.2017), відповідаючи на запитання про цей документ, який задав Шахар Ловтт :

Функція Андрєєва, яка, як стверджується, має складність суперполіномічної схеми (реферат, тоді розділ 7), - це просто уніваріантна поліноміальна інтерполяція у кінцевому полі, яке, якщо я чогось не пропускаю, вирішується гауссова елімінацією

Власне, це не обов'язково пункт, коли доказ не вдається; Тоді Лука відповів на наступне (15.08.2017), після питання, що стосується коментаря Ендрю нижче:

Ви маєте рацію, хлопці, я неправильно зрозумів визначення функції Андрєєва: не ясно, що вона зводиться до поліноміальної інтерполяції

Карл Віммер прокоментував думку Густава Нордха (відтворений з дозволу Карла):

Додавши до цього, я не бачу, чому з перших двох абзаців доведення теореми 5 можна зробити висновок, що обчислює f . Я бачу лише певну односторонність, що D N F ′ ( g 0 ) обчислює функцію так, що f = 1 означає, що ця функція також є 1.$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

Третій абзац мені також не допомагає: звичайно, та його DNF / CNF-комутатор обчислюють ту саму функцію, але з цього не випливає відразу, що вимикач DNF / CNF обчислює f (тому що D N F ' ( g 0 ) може не бути), тому ми не можемо робити жодних висновків щодо f -заключень.$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(Убік: ця однобічність узгоджується з прикладом Густава вище.)

З іншого погляду, звичайно, стандартна мережа, що обчислює монотонну функцію, може обчислювати немонотонні функції на внутрішніх вузлах. Теорема 5 не застосовується до немонотонних функцій, тому може неправильно обчислити підфункцію в мережі, вихідним вузлом якої є g (що відбудеться для багатьох немонотонних функцій). Через це я не переконаний, що ця індуктивна побудова D N F ′ ( g 0 ) обов'язково буде правильною у підсумку.$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Якщо я тут абсолютно не базуюсь, будь ласка, дайте мені знати!

Від анонімного користувача у відповідь на точку Карла:

DNF 'і CNF' - це просто DNF і CNF для f, в яких відбувається скасування протилежних літералів, отже, зменшення їх до коротшої форми. Це також пояснюється в роботі, і це дещо громіздко від визначення, але саме так воно і є. Теорема 5 не є проблемою, м'ясо - у теоремі 6.

І відповідь Карла (який я знову відтворюю тут):

Я бачу, що говорить анон (спасибі!); мій коментар не вирішив належним чином мою плутанину. Якщо є монотонним і обчислюється при g 0 , то добре прийняти D N F ( g 0 ) , застосувати поглинання та оператор R , і отриманий D N F ′ ( g 0 ) являє собою f . Використовуючи цю конструкцію "одним ударом", теорема 5 чудово відповідає теоремі 6. Я позначив це визначення D N F ' ( g 0$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Те , що я не можу бачити , чому ворота затвора по застосувати абсорбція-й - їх ви хід будівництва D N F ' ( г 0 ) на сторінках 27-28 робить те ж саме. Це здається необхідним, щоб аналіз «від дверей до воріт» працював у теоремі 6, якщо помилка в цій конструкції не враховується. Я маю в виду, не кожна функція може навіть бути представлена у вигляді ДНФ з точки зору з тільки не зведені на немає або заперечуються литералов, але і для кожного вузла г , Д Н Р ' ( г ) , здається, завжди мають цю форму. Що робити, якщо в моїй мережі є вузол g, такий, що r e s$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$ не має такого представництва?$\mathrm{res}(g)$

(Ще один невеликий (?) Пункт: Я не бачу, що робить у конструкції "ворота за воротами" під час будівництва; в 1.-4. Здається, що α - це вже стандартна конструкція DNF, але з поглинання та застосовано R. )$R$$\alpha$$R$

(відповідь від anon) Я погоджуюся, що невизначеність у визначенні R може бути проблемою в розділі 6. R не визначено явно, і якщо тільки його дія не залежить якось від всього DNF (а не від значень DNF 'у воротах індуктивно) , може виникнути проблема. Доказ Деолілікара мав аналогічну проблему - два різні визначення плуталися. Тут, принаймні, ми знаємо, що означає "DNF", і якщо це є проблемою в розділі 6, це можна легко відстежити. Я ще не заглиблювався в розділ 6, однак це вимагає розуміння доказів за допомогою наближених Бергом та Ульфбергом, описаних у розділі 4, в кінцевому рахунку пов'язаних із будівництвом Разборова 1985 року, що непросто.

Пояснення, як працює R:

Коли R застосовується на якомусь етапі, він скасовує лише ті терміни, які на ТОМУ КРОКУ містили б протилежні літерали (нам може знадобитися відстеження негативних літералів). Наприклад, давайте оцінити як ( ( x ∨ y ) ∧ ( ¬ x ∨ y ) ) ∧ ( x ∨ ¬ y ) для обчислення DNF 'на першому вузлі AND, ми отримуємо

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ перед застосуванням R, але після застосування R ми втрачаємо перший x з першого дужки, і отримуємо ( y ) ∨ ( x ∧ y ) ∨ ( y ) , (де перший y може мати віртуальний NOT x, якби ми його відстежували). Потім застосуйте друге І, щоб отримати ( ( у ) ∨ ( $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ але тоді R видаляє всю першу дужку, тому що вона має віртуальний НЕ y (у цьому випадку ми не не потрібно слідкувати за попередніми кроками, але, можливо, нам це потрібно взагалі), залишивши ( ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ y $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ або просто ( x ∧ y $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

Правильність заявленого доказу обговорюється в блозі Лука Тревісана: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-clated-proof-that-p-does-not-equal- np /

Зокрема, "anon" розмістив наступний відповідний коментар:

"Тардос зауважив, що аргументи Разборова та Алона-Боппана переносяться на функцію, обчислену немонотонною схемою розміру полінома (функція є невеликим варіантом для наближення тета-функції Ловаса графа). Якщо аргументи Берга і Ульфберга також подати заявку на функцію Тардоса (що є інтуїтивно зрозумілим, оскільки їх доказ базується на доказі Разборова), тоді зрозуміло, що нинішнє твердження Блума не може бути правильним. На жаль, автор не обговорює це питання ".

На пряме запитання від "Михайла" Олександр Разборов підтверджує це (див. Пост Михайла): міркування Берга та Ульфберга цілком належать до функції Тардоса, і оскільки це так, доказ Блума обов'язково неправильний, оскільки суперечить ядру. шостої теореми у своїй роботі. - А. Разборов

На мою думку, це однозначно вирішує питання про те, правильно чи ні папір (це НЕ правильно!). Важливо також зазначити, що видавати докази важко, оскільки сам метод доказування виявляється недосконалим.

Оновлення (2017/08/30) Норберт Блум опублікував такий коментар на своїй сторінці arXiv:

Доказ неправильний. Я докладно уточнив, у чому помилка. Для цього мені потрібен певний час. Я розміщую пояснення на своїй домашній сторінці

Густав Норд прокоментував теорему 5 (стор. 29). Зокрема, функція

$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

Чи можна використати розшифровку списку кодів Рід-Соломона, щоб показати, що функція POLY Андрєєва перебуває в P, подібно до того, як Сивакумар робив у своєму порівнянному документі про членство ? Або, як відомо, функція POLY є NP-завершеною?

Він оновив arXiv, щоб сказати, що його доказ невірний:

Доказ неправильний. Я докладно уточнив, у чому помилка. Для цього мені потрібен певний час. Я розміщую пояснення на своїй домашній сторінці.

Lipton і Регена блог тут має хорошу дискусію на високому рівні з цікавим коментарем на доказ структури.

Вони також зазначають, що родовід Блума виявив нижню межу складності булевих ланцюгів, яка проіснувала більше 30 років. Звичайно, це лише "побічна інформація", оскільки експерти вже серйозно вивчають докази.

Також тут: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

Цитуючи Алона Аміта:

(особиста думка, 14 серпня, згодом): Я не думаю, що цей документ витримає ретельний аналіз. Глибока теорема, яка так само масово досліджувалася, як і P ≠ NP, по всій вірогідності, буде вирішена глибокими і далекосяжними новими методами. Не виключено, що це буде вирішено невеликим вдосконаленням відомих, існуючих методів, але це просто дуже, дуже, дуже малоймовірно.

Навряд чи це буде правильним з наступної причини: метод апроксимацій є загальним, що будь-яка нижня межа може бути доведена з їх допомогою. Це результат завдяки Разборову. Чому це проблема? Оскільки це означає, що метод наближення не буде головним прогресом, він може виражати що завгодно, м'ясо буде десь іншим. У статті, здається, немає такого м'яса, що говорить про те, що, швидше за все, автор робить тонку помилку, таку помилку, яка прихована від очей, але по суті є припущенням, яке передбачає відповідь. Для тих, хто не є теоретиками складності: це дуже хороший тест на запах, це так само вірогідно, як чиясь претензія побудувати ракету в своєму підвалі, щоб поїхати на Місяць через тиждень.

То де ж ця тонка помилка? У блозі Тревізана є коментар Лавтта, який припускає, що таке приховане припущення може бути в теоремі 6.

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

Булева функція має лише одну таблицю істинності, але не має жодного алгебраїчного виразу, жодна проблема не має лише однієї булевої функції, яка її вирішує.

Деякі (можливо, всі) функції є ізоморфічними (проблем немає).

$NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$