Огляд на високому рівні методу наближення Разборова

Який метод наближення Разборова? Чи може хтось дати огляд високого рівня та інтуїцію за ним?

Нехай - булева функція на -бітах. Нехай . Нехай є ланцюгом на n бітах і розміром і воротами . також позначає функцію на бітах, обчислених підсхемою з як останній затвор. Перші ворота призначені для вводу . Мета полягає в тому, щоб показати , що в розмірі не може обчислювальний . Розглянемо всі обчислення на входах із$f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$. Обчислення призначає значення виходу воріт. Нехай - булева алгебра .$B$$P(Z)$

Ідея полягає в тому , щоб розглянути для будь-якої функції на -bits , наскільки добре апроксимує на . Нехай .$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Для ультрафільтра ми можемо визначити нове обчислення за допомогою ультрапродукту з нього: iff . Оскільки ультрафільтр по суті є набором послідовних обчислень для значень 0, то отриманий є коректним обчисленням. Звідси випливає, що . Ми створили нове обчислення з існуючих. Оскільки все Ультрафільтри на кінцевих множинах є головними . Це працює для будь-якої схеми, ми не використовували той факт, що схема розміром .$F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

Наступна ідея полягає в тому, щоб використовувати скінченність схеми, щоб побудувати новий вхід, який знаходиться поза і але схема не помічає через обмежений розмір і тому все одно виводить 0. Отже, це не обчислити .$Z$$f(w) \neq 0$$f$

Нам потрібно розслабити визначення ультрафільтрації , так що ми можемо отримати вхід зовні . Замість ультрафільтрів ми використовуємо закриті вгору підмножини ( а означає ), які зберігають зустрічі ( означає, ).$Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

Нехай . є безліч входів в відповідно до . Якщо просте ( означає або ) і неповне ( ), то для кожного , містить або абоа містить лише один вхід.$W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$$||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

Ми збираємось відпочити збереження зустрічей. Замість усіх зустрічей булевої алгебри ми збережемо їх невелику кількість. Нехайнайменше число від того, відповідає , що для всіх вгору-закрито, nonfull, -preserving , .$|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

Нехай - складність ланцюга . Разборов довів, що .$m$$f$$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

Зауважте, що ця нерівність справедлива для всіх функцій. Щоб довести розмір ланцюга нижня межа , показують , що для всіх -meets , є , який задовольняє умовам , але його не міститься в . Більше того, за допомогою цього методу можна довести будь-яку міцну ланцюг нижньої межі через другу нерівність.$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

Фактична частина доказу нижньої межі ланцюга полягає в тому, щоб показати, що для даного для будь-якого$m$$m$-відповідає є такий $F$. У випадку монотонних схем умова о$W_F$ спрощує до $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ так що придумуючи $F$ легше.

Олександр Разборов, Про метод наближення, 1989. pdf

Маурісіо Карчмер, Про доведення нижньої межі для розміру ланцюга, 1995 рік.

Тім Гоуерс, метод наближення Разборова, 2009. pdf

Відмова від відповідальності : Це лише огляд високого рівня, який повинен дати деяку інтуїцію методам, що використовуються в недавній роботі Blum.

Я спробую використовувати позначення, які ближче до того, що використовується у вищезгаданій роботі.

Дозволяє $f$ бути булевою функцією на $n$ змінні $x_1,\dots,x_n$. Припустимо, ми хочемо довести, що будь-які булеві мережеві обчислення$f$ має великі розміри.

Враховуючи деяку булеву мережу $\beta$ обчислення $f$ на своєму вихідному вузлі розглянемо наступний процес.

1. Замовте ворота в $\beta$ за деяким топологічним порядком $g_1,g_2,\dots,g_m$ де останній вузол - це вихідний вузол.
2. Для кожного кроку часу $t=1,\dots,m$ми наблизимо функцію, обчислену на воротах$g_t$ функцією "простого" $f_{g_t}$. Це наближення може змінити функції, обчислені в вузлах нижче за течією$g_t$ (зокрема, функція на виходному вузлі $g_m$ можливо, змінилися).

В кінці цього процесу ми наблизили функцію, обчислену в $g_m$ за допомогою простої функції $f_{g_m}$.

Далі побудуйте групу тестових входів $T\subseteq \{0,1\}^n$.

Припустимо, ми можемо довести такі твердження:

• Апроксимація кожного окремого вузла хороша (тобто, максимум $e$-мало помилок вводяться на входах з $T$ на кожному кроці наближення).
• Жодна проста функція не наближається $f$ добре (тобто для будь-якої простої функції $f_{g_m}$, ми маємо $f_{g_m}\neq f$ на більш ніж a $d$-фракція $T$).

Тоді, просто підраховуючи кількість помилок, ми отримуємо це $\beta$ повинні мати хоча б $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$-мало воріт.

Якщо може бути показано, що ця схема наближення працює для будь-якої мережі $\beta$ обчислення функції $f$, тоді ми приходимо до нижньої межі складності ланцюга $f$.