Чи має теорія першого порядку кінцевої структури обмежений ранг квантора?

Нехай - будь-яка кінцева структура. Чи має теорія першого порядку обмежений ранг квантора, в тому сенсі, що існує такий, що для всіх з є з і ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— Д. Русін
джерело

Це не питання для Mathoverflow, а не теорія CS?

— Андрій Бауер

@Andrej, теорія скінченних моделей та описова складність також вважаються частиною TCS.

— Каве

Відмінно, так це, як колись сказав Боб Харпер: математика - це особливий випадок інформатики.

— Андрій Бауер

Інформатика - це також особливий випадок математики, і вони є також особливими випадками логіки, і навпаки.

— fhyve

Відповіді:

Теорія будь-якої кінцевої структури є повною моделлю. Насправді легко помітити, що будь-яка формула еквівалентна екзистенціальній формулі з одним кількісним показником на кожен елемент структури, після чого всі квантори вихідної формули можуть бути імітовані сполучниками та диз'юнкціями. Зокрема, кількість кванторів (отже, і кількісний показник) обмежена розміром структури.

— Еміль Єржабек
джерело

Насправді потрібен один додатковий універсальний квантор, який дозволяє висловити відсутність подальших елементів. У всіх відповідях є одне припущення, яке повинно бути виразним: наявність o фекальності, тобто x = y є дозволеною атомною формулою.

— Thomas S

Додатковий кількісний показник не потрібен. Пам'ятайте, що ми не намагаємось аксіоматизувати теорію структури, а знайти формулу, еквівалентну заданому модулю теорії. А наявність рівності є універсальним стандартом для класичної логіки першого порядку. Його відсутність потрібно було б констатувати.

— Еміль Єржабек

Ага. Ти правий. "Теорія модуля". Щодо рівності: оскільки ми намагаємось пояснювати легкі речі людям з-поза Логіки, це не завадить зробити рамки явними. Ще одне зауваження: заміна кванторів на сполучники та диз'юнкції є абсолютно хорошою. Однак існують альтернативи: оскільки формула з, скажімо, m вільними змінними визначає m-ary відношення A, нова формула може, відгадавши всі елементи і перевіривши, що саме є (модульові автоморфізми), також явно "перерахувати" всі кортежі, для яких стара формула дає «правду».

— Thomas S

Щоб зробити те, що Еміль сказав трохи конкретнішим: розглянемо формулу, що виражає існування k різних об'єктів. Це свідчить про необхідність необмеженої кількості кванторів.

Тепер у вас є формула з q кванторами, і у вашій моделі є k об'єктів, ви можете висловити формулу, заявивши, що k різних об'єктів існує і відношення між ними може бути виражене як CNF.

— Каве
джерело