Вирішення найзначнішого біта двійкового множення

Мені цікаво визначити складність наступної проблеми рішення: З огляду на два цілих числа та (кожне з максимум m бітів), вирішіть, чи є найбільш значущим бітом множення 1 (де результат друкується в 2 м біт з можливими ведучими 0)? $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

Деякі відомості про проблему: Очевидно, що ця проблема є особливим випадком двійкового множення, який запитує, чи -й біт множення є 1. У своїй роботі Уніфіковані порогові схеми постійної глибини для ділення та ітераційного множення , Гессе, Аллендер і Баррінгтон доводять, що ітераційне (і, таким чином, двійкове) множення є в - рівномірному . Більше того, мабуть, добре відомо, що двійкове множення вже - рівномірне $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -твердий. Однак мені не вдалося знайти конкретного джерела, що підтверджувало б цей результат твердості. Як не знаючий складності схем, я також би вдячний вказівці на цей загальний результат твердості. Нарешті, припускаючи, що двійкове множення є - рівномірним -hard, моє запитання також може бути прочитане як: Чи залишається - рівномірним - важко, якщо ми хочемо вирішити лише найзначніший біт двійкового множення? $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$

ОНОВЛЕННЯ: Відповідь Каве пояснює, чому двійкове множення є -hard (зменшення від COUNT). Точна складність вирішення найбільш значущого біта двійкового множення залишається відкритою (і це щедро для цього питання). $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Гейхей
джерело

У книзі iirc описової складності є доказ. Я не впевнений, що ви маєте на увазі під самим значущим бітом, він завжди є одним за визначенням.

— Kaveh

Це лише жарт вашого вчителя: Біти - це 0 або 1, а найзначніший біт - це небіт 0 біт на найвищій позиції. Він дорівнює 1 за визначенням (якщо один із факторів і не дорівнює нулю).

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

— Gamow

@Kaveh Дякую за довідку: я перевірю це. Вибачте за плутанину щодо найзначнішого біта. Я неявно припускаю, що результат друкується в 2м-1 бітах і, якщо необхідно, з ведучими 0.

— Heyheyhey

@Kaveh: У Книзі описової складності згадується лише верхня межа. Я нічого не міг знайти про твердість двійкового множення.

— Heyheyhey

Ви пишете: "Більше того, здається, добре відомо, що двійкове множення вже - рівномірне -hard." Чому так здається? Я знаю, що двійкове множення не в , і це все, що мені зараз цікаво.

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Томас Клімпель

Множення завершено для і це добре відомий результат. Скорочення відбувається від Count (кількість 1 біт у двійковому числі). Порівняння двійкових чисел у тому можна звести до . $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

Щоб зменшити до зробіть наступне: врахуйте, що введення . Вставте 0s між s і називайте його . Помножте це з , який, як за винятком того, що з в ньому замінюються 1s. Виберіть . Число в середньому розділі - це відповідь. Зменшення в і показує, що . $\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— Каве
джерело

Дякуємо за відповіді! Так, це підтверджує, що двійкове множення завершено для TC0. Що стосується найбільш значущого біта, залишаються деякі проблеми. Найбільш значущий біт множення (111 х 111) = 110001 - це 1, а для цього (100 х 100) = 010000 - це 0. Зверніть увагу, що найбільш значущі біти множин є однаковими в обох випадках. Тому я не думаю, що загалом достатньо скласти найбільш значущі шматочки. Я щось пропускаю?

— Heyheyhey

Якщо і , тоді MSB дорівнює 0, а MSB дорівнює 1 , незважаючи на те, що і можуть відрізнятися лише одним, найменш значущим, бітом.

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

— Emil Jeřábek

Правка невірна. Оскільки ми додаємо m чисел, може не бути лише один біт переносу, але log m. Вирішити, скільки вона поширюється, тоді набагато складніше.

— Еміль Єржабек

Дійсно, ігнорування всього іншого: обчислення виконання однієї позиції (скажімо, десь посередині) вже еквівалентно Count, отже, TC ^ 0-завершене.

— Еміль Єржабек

@ Heyheyhey, формула, яку я написав, є FO і тому в єдиній AC0.

— Каве