Пошук підграфів з високою шириною і постійним ступенем

Мені дають графік $G$з шириною $k$ і довільного ступеня, і я хотів би знайти підграф $H$ з $G$ (не обов'язково індукований підграф) такого, що $H$має постійний ступінь і його широта ширини є максимально можливою. Формально моя проблема полягає в наступному: обравши зв'язаний ступінь$d \in \mathbb{N}$, яка "найкраща" функція $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такий, що в будь-якому графіку $G$ з шириною $k$, Я можу знайти (сподіваюся, ефективно) підграф $H$ з $G$ з максимальним ступенем $\leq d$ і тривалість $f(k)$.

Очевидно, що ми повинні взяти $d \geq 3$ оскільки немає графіків високої ширини з максимальним ступенем $<3$. Для$d = 3$ Я знаю, що можна взяти $f$ такий як $f(k) = \Omega(k^{1/100})$або, таким чином, звертаючись до мінорного результату вилучення сітки Чекурі та Чужоя (і використовуючи його для отримання графіка високої ширини ширини-3, наприклад, стіни, як топологічного мінора), з можливістю обчислення підграфа (в Р.П. ). Однак це дуже потужний результат із детальним доказом, тому його неправильно використовувати для того, що виглядає набагато простішою проблемою: я просто хотів би знайти будь -який підграф з постійною ступенем високої ширини, а не конкретний як за їх результатом. Далі, пов'язаний на$f$не так добре, як я б сподівався. Звичайно, відомо, що це можна зробити$\Omega(k^{1/20})$ (аж до відмови від ефективності обчислення), але я б сподівався на щось подібне $\Omega(k)$. Отже, чи можна показати це, враховуючи графік$G$ широкої ширини $k$, є підграф $G$ з постійним ступенем і лінійною шириною в $k$?

Мене також цікавить саме той самий питання щодо пропускної здатності, а не для ширини ширини. Щодо пропускної здатності, я не знаю жодного аналога до сітки незначного видобутку, тому проблема здається ще більш загадковою ...

Дивіться статтю Юлії Чужой та мене про розсіювачі Treewidth. Ми показуємо, що можна отримати підграф з ступенем максимум 3 з широкою шириною$\Omega(k/polylog(k))$ де $k$ - це широта ширини $G$. https://arxiv.org/abs/1410.1016 Доказ коротший, ніж для неповнолітніх, але все ще не так просто і ґрунтується на кількох попередніх інструментах.

Припустимо, ви вирішите простішу ціль - ступінь 4 та широку ширину $\Omega(k^{1/4})$тоді ви можете отримати це набагато легше за допомогою результатів Рід і Вуд на сітках неповнолітніх. https://arxiv.org/abs/0809.0724

Ще один простий результат, який ви можете отримати, - це наступний, який є відправною точкою для деяких більш задіяних доказів. Можна отримати підграф дегре $\log^2(k)$ і ширина $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$. Ви можете побачити папір-розсіювач паперу для аргументу для досягнення цього.