Приклад, що демонструє потужність недетермінованих схем

Недетермінований булева схема має, крім звичайних входів , набір "недетермінованих" входів . Недетермінірованного схема приймає вхідні , якщо існує таких , що вихідний контур на . Аналогічно $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ (клас мов, який можна визначити за схемами розмірів поліномів), можна визначити як клас мов, які можна визначити за допомогою недетермінованих схем розміру полінома. Поширена думка, що недетерміновані схеми є більш потужними, ніж детерміновані схеми, зокрема означає, що поліноміальна ієрархія руйнується. $NP/poly$ $NP \subset P/poly$

Чи є в літературі явний (і безумовний) приклад, що показує, що недетерміновані схеми є більш потужними, ніж детерміновані схеми?

Зокрема, чи знаєте ви про сімейство функцій обчислюється недетермінованими схемами розміру , але не обчислюється детермінованими схемами розміру ? $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— Густав Норд
джерело

Я не думаю, що така родина відома. Ось нещодавня стаття, що вивчає недетерміновані схеми: arxiv.org/abs/1504.06731 Я пам’ятаю, що перед публікацією статті Хірокі задав подібне запитання тут

— Олександр Сергійович Куліков

Спасибі. Я припускаю, що питання, на яке ви посилаєтесь, таке: cstheory.stackexchange.com/q/25736, яке пов'язане, але вимагає нижчих меж щодо недетермінованої складності схеми.

— Густав Норд

Однією з важливих властивостей недетермінованих схем є те, що вони завжди можуть бути перетворені в еквівалентні схеми глибини-2, додавши більше недетермінованих входів, використовуючи ті самі ідеї, що і в скороченні від CircuitSAT до SAT. Зокрема, це означає, що недетерміновані схеми глибини 2 можуть обчислити парність n біт у розмірі поліномів, тоді як детерміновані схеми глибини 2 обчислювального паритету повинні мати розмір 2 ^ n-1.

— Або Меїр

Гарна думка! Особливо стосовно вищезазначеного результату Хірокі, що складність парного недетермінованого кола становить 3 (n-1), що дорівнює складності детермінованих схем паритетності.

— Густав Норд

Випадок формул DeMorgan схожий на схеми глибини-2, згадані вище. Недетерміновані формули DeMorgan можуть обчислити парність n біт лінійного розміру, використовуючи аналогічні ідеї, як схеми глибини-2, тоді як детерміновані формули DeMorgan потребують квадратичного розміру за теоремою Храпченка.

— Hiroki Morizumi

Якщо ця проблема не має прогресу, я маю відповідь.

Я також розглядав цю проблему з моєї роботи COCOON'15 (до вашого запитання).

Тепер у мене є доказ стратегії, і це відразу дає наступну теорему: Існує булева функція така , що недетермінірованного -circuit складність найбільше і детермінований -circuit складність дорівнює . $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

Прошу вибачення, що не написав газету. Наведеного нижче ескізу може бути достатньо, щоб пояснити мою доказову стратегію. Я маю на меті написати документ з більшою кількістю результатів до граничного терміну STACS (1 жовтня).

[Ескіз доказування]

Нехай . $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

Детермінований доказ нижньої межі заснований на стандартному методі усунення затвора з невеликою модифікацією.

Недетермінований доказ верхньої межі є побудовою такої недетермінованої схеми.

Побудуйте обчислювальну схему . (Кількість воріт -.) $Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
$\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
Об'єднайте два контури.

— Хірокі Морізумі
джерело

Щось не в порядку з межами. Недетерміновані складності не можуть бути більшими, ніж детерміновані складності.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Дякую за вашу відповідь, саме те, що я шукав!

— Густав Норд