Чи заповнена наполовину заповнена проблема магічного квадрата NP?

Ось проблема:

У нас є квадрат з деякими числами від 1..N в деяких клітинках. Потрібно визначити, чи можна її завершити до чарівного квадрата.

Приклади:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

Чи не завершена ця проблема NP? Якщо так, то як я можу це довести?

Перехрестя на МС

cc.complexity-theory np-hardness np puzzles

— левановд
джерело

Ні, просити допомоги - це не погано. Але ваше запитання має бути в межах веб-сайту, про який ви запитували. Я думаю, що Math SE підходить для цього питання, а TCS SE - ні.

— Сісен-Чі Чанг 21 之

Ми приймаємо питання щодо підтвердження твердості NP, особливо коли проблема є складною. Наприклад, розгляньте три приклади, перелічені тут як відповіді: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/784/…

— Суреш Венкат

Якщо це домашнє завдання, ми не допускаємо цього, незалежно від того, чи це неетично.

— Пітер Шор

@levanovd: Це не stackoverflow. Ця спільнота має чітку політику, яка забороняє питання домашнього завдання. Те, що stackoverflow має іншу політику, тут не має значення.

— Джефф

Я не знаю рішення і не думаю, що це на рівні домашніх завдань. Однак мені може не вистачити чогось простого. Тому, якщо хтось знає повне рішення і вважає, що це питання є рівним домашнім завданням, будь ласка, просто скажіть так. Тим часом я припускаю, що це питання не є домашнім завданням, і тег [домашнє завдання], який використовується в Math SE та попередній коментар levanovd, були просто помилками.

— Цуйосі Іто

Відповіді:

Заповнення частково заповненого латинського квадрата є NP-Complete. "Складність заповнення часткових латинських квадратів" Чарльз Дж. Колбурн. Дискретна прикладна математика, Том 8, Випуск 1, квітень 1984, Сторінки 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

Чи можна задачу латинського квадрата перетворити на магічну задачу квадрата за допомогою модульної арифметики? Моя інтуїція говорить так, але решта мого мозку говорить "Поверніться до оцінки!"

— Пітер Бут
джерело

Було б непогано перетворити це на суворий аргумент. Мені зовсім не зрозуміло, як би модульна арифметика справді допомогла зменшити ВЗАЄМНІСТЬ МОТИЧНОГО КВАРТУ до МАГІЧНОГО ЗАКЛЮЧЕННЯ, або навпаки. Було б досить симпатично, якби це можна було змусити працювати.

— Андраш Саламон

Це запитання має дві частини: по-перше, чи є проблема в НП, а по-друге, чи це НП-важко?

У першій частині я маю позитивну відповідь з неочевидним доказом. (Дякуємо Сурешу за вказівку на попередню помилку.)

Розглянемо наступний спосіб формалізувати питання як проблему вирішення:

$n$ $n$ $n$

$1,2,\dots,n^2$

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$

$n^2$

$x_i = 1$ $x_i = x_j + x_k$ $i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$ $x_i$ $\sqrt{5}^{n-1}$

Це також з'явилося як теорема 4.7 у:

Аполоніус Тишка, Дві гіпотези з арифметики в R і C , Математика. Журнал. Квартал 56 175–184, 2010.

$2^n$ $2^{n-1}$

$x_i = 1$ $x_i = x_j + x_k$ $i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$ $x_i$ $2^n$

$2^{n-1}$

Це дає наступне:

$N$ $2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$ $O(N^8)$ $n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$ $n-2$ $m$ $O(m^2)$

$n$

Використовуючи прив’язаний Пападімітріу до рішень екземпляра INTEGER LINEAR PROGRAMMING, можна також показати, що версія, де всі числа повинні бути негативними, також знаходиться в NP.

$A$ $r \times s$ $b$ $r$ $\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$ $Ax = b$ $\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$ $s=n^2+1$ $r=2n+2$

Крістос Х. Пападімітріу, Про складність цілого програмування , JACM 28 765–768, 1981. ( посилання )

— Андраш Саламон
джерело

Я думаю, я розгублений. якщо на величину відповідей є багатозначна політика, то у нас гарантовано є здогад, який можна прочитати та перевірити за полиномним часом.

— Суреш Венкат

@Suresh: Вибачте за помилки, цю відповідь виписати було трохи важче, ніж я очікував.

— Андраш Саламон